添辅助线：把还不存在的东西画出来
辅助线不改变原图，它只是让一个已经成立的关系变得看得见。选哪一条有章可循：把条件搬到一起，或者补出一个你已经会的图形。
7 分钟思维方法: 构造
需要什么就造什么，哪怕它看起来是凭空出现的
这一片为什么存在
手上握着 SSS 和 SAS，题目是：等腰三角形 AB=AC，证明 ∠B=∠C。你会立刻卡住——全等判定要两个三角形来比，而图里从头到尾只有一个。缺的不是知识，是一个可以拿来比的对象。辅助线的第一份工作，就是把这个还不存在的第二个三角形变出来。
内容
先把最容易的一层误会拆掉：画一条线，不等于往图里塞了新条件。
原图里的点已经全部就位了。连接 A 和 D，这条线段在你落笔之前就存在，你只是把它画出来、给它起了个名字。过 A 作 BC 的垂线也一样：这条垂线由 A 和 BC 唯一确定，它不需要谁允许才存在。所以“添线可能改变原图性质”这件担心，在这些写法下不会发生。
真正会出事的是另一种写法：作 AD，使 AD⊥BC 并且 BD=DC。这一句里塞了两个要求。一般的三角形根本没有这样的线，你等于偷偷假设了原图是等腰的。危险从来不在“画了线”，而在“一句话里提了不止一个要求”。
拆掉误会之后，剩下的问题才是：画哪一条。这里确实有章可循，常用的入口只有两个。
第一个是把条件搬到一起。题目给的条件往往散落在图的不同角落，而定理要求它们出现在同一个三角形里、同一对角上。辅助线就是那条搬运的路：连一条线，把两条已知相等的线段变成同一个三角形的两条边；或者作一条平行线，把一个角搬到它的同位角位置上。
第二个是补出一个你已经会的图形。眼前的图形陌生，但它差一点就是平行四边形、就是直角三角形、就是等腰三角形。那就把差的那一点补上：延长一倍、补一条平行边、把一半翻折过去，然后用你早就熟的那套结论。
至于“画得越多越好”，恰好相反。每加一条线，图里的交点、角和小三角形都会成倍增加，第三条下去就没人看得清主线了。一条线值不值得画，有个很短的检验：你能不能用一句话说出“它把哪个条件搬到了哪里”。说不出来，就先别画。
把原图给出的全部条件记作 H，把一句作图指令记作 L。例如 L 可以是“过 A 作 BC 的垂线，垂足记为 D”。
记号 H ⊢ P 读作“由 H 出发可以证明 P”；∃L 表示“满足 L 所描述的那个对象存在”。
称 L 是一条合法的辅助线，当且仅当 H ⊢ ∃L。
合法时，画完线之后的条件集是 H 与 L 合在一起。但由 H 已经能推出这个对象存在，所以凡是从“H 加 L”证出的结论，从 H 也证得出。这就是“辅助线不改变原图”的准确含义：它扩充的是图，不是假设。
反例是这句：作 AD，使 AD⊥BC 且 BD=DC。这个 L 同时提了两个要求，一般三角形中不存在这样的 AD，H ⊢ ∃L 不成立。
于是得到一条很好用的操作规则：一句作图指令只提一个要求。连接两个已有的点、作垂线、作平行线、作角平分线、作中线，每一种都只提一个要求，因此天然合法。
跟着做一遍
△ABC 中 AB=AC。只用 SSS 和 SAS，证明 ∠B=∠C。动笔之前先回答一个问题：图里只有一个三角形，第二个从哪来？
- 定位障碍：全等判定需要两个三角形，而 ∠B 和 ∠C 长在同一个三角形里。所以要造一条线，把这一个三角形切成两个，并让 ∠B、∠C 分别落进其中一个。
- 确定这条线的两端：它必须从 A 出发、落在 BC 上。否则切出来的两块不会分别含有 ∠B 和 ∠C。
- 从 A 到 BC 的“只提一个要求”的画法就那几种：角平分线、中线、垂线。先取角平分线——作 ∠BAC 的平分线，交 BC 于 D。
- 清点被搬到一起的条件：AB=AC 是已知，∠BAD=∠CAD 来自 D 的定义，AD=AD 是公共边。
- 三个条件的排列顺序是边—夹角—边，对 △ABD 与 △ACD 用 SAS，得两三角形全等。
- 全等三角形的对应角相等，于是 ∠B=∠C。
- 换一条重做：改作 BC 边上的中线 AD。此时 AB=AC、BD=CD、AD=AD，用 SSS 同样得证。两次都只画了一条线。
结果
∠B=∠C。两条不同的辅助线给出两个完整证明，这说明辅助线既不唯一，也不是猜出来的：它是被“我要凑齐 SAS 或 SSS 的哪三个条件”这个目标反推出来的。顺带一提，这道题里的角平分线、中线、高最后会被证明是同一条线，但那是结论，不是可以提前拿来用的前提——这也正是“一句作图指令只提一个要求”要防住的地方。