二项分布：独立重复的那一类

先看一个具体的算式。抛 5 次硬币，想要恰好 3 次正面。

一个很自然的冲动是写 0.5³。但这个数算的是另一件事：前三次是正面，后两次不管。可“不管”在概率里是要付代价的——后两次必须是反面，这才叫恰好 3 次。所以一条具体的路径，比如正正正反反，概率是 0.5³×0.5²。

第二个坑紧接着来。正正正反反只是一条路径，可正反正正反同样是恰好 3 次正面。这两条路径概率相同，但它们是不同的事件，要相加。于是问题被拆成两半：一条路径多少概率，一共多少条路径。前一半用独立性，后一半是纯粹的计数——从 5 个位置里挑 3 个放正面，C(5,3)=10 条。

答案是 10×0.5⁵=10/32，约 31%。

这个“路径概率 × 路径条数”的结构，就是二项分布的全部。它之所以能这样算，靠的是两个假设各管一半：每次概率都是 p，所以任何一条含 k 次成功的路径，概率都是同一个 p^k(1-p)^(n-k)；每次互相独立，所以一条路径的概率可以直接把 n 个因子乘起来。

这也解释了四个条件为什么缺一不可。次数固定，否则“从 n 个位置里挑 k 个”无从下手。每次只有两种结果，否则一次试验的成功概率不是一个数。每次概率相同，否则不同路径的概率不再相等，不能用一个数乘条数。每次独立，否则乘法根本不成立。

不放回抽牌是最常见的反例：一副牌里抽 5 张，问几张红桃。两种结果有，次数固定也有，但抽走一张红桃后，下一张是红桃的概率就变了。后两条同时塌掉，这不是二项分布。

最后回到 100 次硬币。50 次正面确实是最高的那一根柱子，可总共有 101 根柱子来分这 1 的概率。哪怕分得极不均匀，最高的一根也只能拿到 8% 左右。“最可能的结果”这句话只在互相比较时有意义，它从来不承诺自己很大。

记 X 为 n 次试验里成功的次数。四个条件写成：试验次数 n 事先固定；每次只有成功、失败两种结果；每次成功概率都等于同一个 p；各次试验互相独立。四条齐了，就说 X 服从二项分布，记作 X ~ B(n, p)。

它的概率质量函数是

P(X = k) = C(n, k) · p^k · (1-p)^(n-k)，k = 0, 1, …, n。

逐个交代符号。k 是要问的成功次数，取值 0 到 n。p^k 是那 k 次成功各自发生的概率相乘。(1-p)^(n-k) 是剩下 n-k 次全部失败的概率，这一项正是“恰好”两个字的代价。C(n, k) 读作“从 n 个里选 k 个”，等于 n!/(k!(n-k)!)，它数的是哪几次成功，也就是路径条数。

两个可以自查的性质。所有 k 的概率之和为 1，因为那就是 (p + (1-p))^n 的二项展开。期望 E[X] = np，方差 Var(X) = np(1-p)。

n = 1 时 B(1, p) 退化成单次试验的成功与失败，叫伯努利分布；二项分布就是 n 个独立同分布的伯努利变量相加。