配方

先别看代数，看一个正方形。

x² 是一个边长为 x 的正方形。x² + 6x 就是在它旁边再摆一个 6×x 的长条。这个图形不规整，所以你看不出它「有多大」。

现在做一件很自然的事：把长条从中间劈开，得到两个 3×x 的窄条，一个贴在正方形右边，一个贴在下边。拼出来的东西差一点就是一个大正方形——边长 x+3，只是右下角空着一个 3×3 的小方块。

这张图一次讲清三件事。

第一，为什么补的是 (b/2)² 而不是 b²。长条是被劈成两半才贴上去的，每半宽 b/2，所以缺角是 (b/2)×(b/2)。补 b² 那个洞根本填不满，补出来的东西不是正方形。

第二，为什么加了还要减回去。你手上的图形从头到尾没变过，变的只是你描述它的方式：与其说「正方形加长条」，不如说「大正方形挖掉一个角」。式子里的 +9 和 −9 就是这句话的两半，少说一半意思就变了。x²+6x 和 (x+3)² 不相等，x²+6x 和 (x+3)²−9 才相等。

第三，为什么二次项系数不是 1 时要先提出来。3x² 不是一个正方形，是三个，你没法把一根长条贴到「三个正方形」上。所以先写成 3(x²+4x)，在括号里配好方，再把 3 乘回去。

这就是构造式思维的样子：你需要一个完全平方，而它不在那儿，于是你把它造出来——凭空加一项，再用减掉同一项来买单。加的那一项不是从题目里推出来的，是你为了得到想要的形状主动放进去的。这个「先造，再补账」的动作，你后面在积分换元、在证明不等式时会反复见到。

补完之后有什么好处？(x+3)²−9 里平方项永远 ≥0，所以整个式子的最小值就是 −9，在 x=−3 处取到——不求导，不算判别式。∫dx/(x²+2x+5) 看着难，写成 ∫dx/((x+1)²+4) 就是一个 arctan。所以配方不是求根公式的另一种写法；反过来，求根公式只是配方的一个副产品。

设 a、b、c 为实数且 a≠0，x 为实变量。

基本恒等式（a=1 的情形）：
x² + bx = (x + b/2)² − (b/2)²
其中 b/2 是一次项系数的一半，+(b/2)² 是为补全正方形而加的项，末尾 −(b/2)² 是为保持等价而减回的同一项。两项必须同时出现。

一般形式：
ax² + bx + c = a(x + b/(2a))² + (c − b²/(4a))
括号内的 b/(2a) 是提出 a 之后、括号里一次项系数 b/a 的一半。记 h = −b/(2a)，k = c − b²/(4a)，即得顶点式 a(x−h)² + k，(h, k) 为抛物线顶点。

因为 (x−h)² ≥ 0 对一切实 x 成立，且等号仅在 x=h 处取到：
· a>0 时，函数在 x=h 取最小值 k；
· a<0 时，在 x=h 取最大值 k。

令 a(x−h)²+k = 0 解出 x，得到的就是求根公式；根号内的 b²−4ac 即判别式 Δ。Δ<0 时无实根，但顶点式照样给出最值——这正是配方比求根公式覆盖更广的地方。