切线与线性近似
在一点附近，曲线看起来就是它的切线：f(x) ≈ f(a) + f′(a)(x-a)。这是全部『微分近似』的原型，也是泰勒展开的第一项。
11 分钟思维方法: 估算与放缩
不求精确值，先卡出它落在哪两个数之间
这一片为什么存在
你已经会算 f′(a) 了，但它究竟能拿来干什么？这一片回答一个很具体的问题：手边没有计算器，怎么在半分钟内报出 √101，并说清这个数能信到第几位。答案是把曲线换成直线——难的从来不是换，而是知道换完之后错在哪、错多少。
内容
拿一张函数图像，盯住 x=a 那一点，然后不停放大。放大到某个倍数之后，屏幕上那段曲线就看不出弯了——它变成了一根直线。可微说的正是这件事：在足够小的尺度上，曲线和某根直线区分不开。那根直线就是切线。
所以切线的正确理解不是「只碰曲线一次的线」。碰几次是全局的事，和局部无关。y=x³ 在原点的切线是 x 轴，它不但穿过曲线，还是从曲线内部穿出去的；圆的切线确实只碰一次，但那是圆的特殊性质，不是切线的定义。切线只负责一件事：在 a 的附近，它比任何别的直线都更贴合曲线。
「更贴合」是可以量化的，而这正是这个想法能变成计算工具的原因。过 (a, f(a)) 的直线有无穷多根，它们在这一点上全都和曲线重合，区别出现在离开 a 之后。斜率选错的直线，误差随 |x−a| 线性地张开；只有斜率恰好取 f′(a) 的那一根，把一阶误差整个消掉，剩下的误差以 (x−a)² 的速度增长。差一个数量级——这就是切线全部的红利。
于是你手里有了一台估算机器：想知道曲线在某点的值，先找一个附近你算得出的点 a，再沿切线走过去。√101 就是从 √100 沿切线走一步。走得越远，(x−a)² 越大，误差越难忍受——这不是近似「失效」了，而是二次项终于大到你肉眼可见了。什么时候还能用，取决于你要几位精度，不取决于公式本身。
设 f 在 a 处可导。定义 a 处的线性化（切线函数）
L(x) = f(a) + f′(a)(x − a)。
其中 a 是展开中心（你已经会算的那个点），f(a) 是曲线在中心处的高度，f′(a) 是切线斜率，(x − a) 是从中心走出去的位移。L 是 x 的一次函数，它的图像就是切线。
线性近似写作 f(x) ≈ L(x)，其精确含义是
f(x) = f(a) + f′(a)(x − a) + o(x − a)（x → a）。
这里 o(x − a) 表示误差除以 (x − a) 后在 x → a 时趋于 0：不只是误差在变小，而是误差比位移本身更快地变小。这恰好就是「可导」的等价说法。
记 Δx = x − a，两个量必须分开：
Δy = f(a + Δx) − f(a)，曲线真实的高度变化；
dy = f′(a)·Δx，沿切线走出的高度变化。
dy 只是 Δy 的线性主部。二者之差在 Δx → 0 时可以忽略，但对任何有限的 Δx 都有 Δy − dy ≠ 0。
若 f 二阶可导，误差还有明确形状：f(x) − L(x) = ½·f″(ξ)·(x − a)²，其中 ξ 介于 a 与 x 之间。这是泰勒公式的第一次露面。
跟着做一遍
不用计算器估计 √101，并给出误差上界，说明这个结果可信到小数点后第几位。
- 取 f(x) = √x，中心 a = 100（因为 √100 = 10 是精确已知的），目标点 x = 101。
- 求导 f′(x) = 1/(2√x)，代入中心：f′(100) = 1/20 = 0.05。
- 写出线性化：L(x) = 10 + 0.05·(x − 100)。
- 代入 x = 101，即 Δx = 1：√101 ≈ 10 + 0.05 = 10.05。
- 估误差：f″(x) = −1/(4x^{3/2})，在 [100, 101] 上 |f″| 的最大值在 x = 100 处，为 1/(4·1000) = 0.00025。
- 代入误差公式：|误差| ≤ ½ · 0.00025 · 1² = 1.25×10⁻⁴；又 f″ < 0，曲线是凹的，切线压在曲线上方，所以真值略小于 10.05。
- 得到夹逼区间：10.049875 < √101 < 10.05。
- 反向检验：把 Δx 放大到 21 去估 √121，L 给出 11.05，而真值是 11，误差 0.05。(Δx)² 从 1 变成 441，误差也涨了约 400 倍。
结果
√101 ≈ 10.05，误差不超过 1.25×10⁻⁴，所以真值落在 10.049875 与 10.05 之间，四位有效数字 10.05 可信（真值 10.0498756…）。同一台机器在 Δx = 21 时给出 11.05 而真值为 11——近似方法没有变坏，是 (Δx)² 变大了。这就是「离 a 很远时还准不准」的定量答案：准不准由 (Δx)² 说了算，不由你的期待说了算。