中垂线：到两点等距的**所有**点
中垂线不是「中点上的一条垂线」这个画法，而是一个集合：到 A、B 等距的点恰好是它，一个不多一个不少。角平分线是同一种句式的另一条。
7 分钟思维方法: 对称
看出对象在某种变换下重复自己，然后只算一半
这一片为什么存在
两户人家要合打一口井，条件只有一条：到两家一样远。多数人脱口而出的答案是打在两家连线的正中间。这个位置确实合格，但它远不是唯一的——合格的位置有无穷多个，而且它们连成一条笔直的线，从中点出发朝两侧一直延伸。为什么是直线，而不是一条弯曲的路径？这一片要讲的，就是「到两点等距」这一个条件如何恰好在平面上切出一条直线，一个点不多，一个点不少。
内容
先把「等距」这个条件翻译成一个熟悉的图形。取任意一个到 A、B 等距的点 P，连出 PA 和 PB，这两条边一样长，所以 △PAB 是等腰三角形。等腰三角形有一条对称轴：沿它对折，两条腰互换，底边的两个端点互换，顶点原地不动。这条轴穿过底边的中点，并且垂直于底边。于是 P 只要满足等距，就被迫落在 AB 的中垂线上——不是因为画法这么规定，而是因为对称把它按在那里。
反过来同样成立，而且更简单。在中垂线上任取一点 P，沿这条线对折：A 落到 B，B 落到 A，而 P 在折痕上，纹丝不动。折叠不改变长度，PA 折过去正好变成 PB，两者必然相等。
两句话夹出了一个集合等式：等距的点全在这条线上，这条线上的点也全都等距。这就是「轨迹」的含义——不是「这条线上的点碰巧有个好性质」，而是「这个性质恰好圈出了这条线」。只证一半是最常见的漏洞：光说「中垂线上的点等距」，并不能排除线外还藏着别的等距点。
顺带解决两个容易卡住的地方。第一，中点当然等距，但它只是这条线与 AB 的交点而已；从中点沿垂线往上走，到 A 与到 B 的水平偏移始终大小相等、方向相反，竖直偏移则完全相同，等距一路被保持，所以合格的点有无穷多个。第二，角平分线是同一种句式写出的另一条线：到角的两条边等距的点集，就是这个角的平分线。要注意这里的「到边等距」量的是点到直线的垂线段，不是到两条边端点的距离；后者说的其实又是一条中垂线，是两回事。
记 A、B 为平面上两个不同的点，|PA| 表示点 P 到 A 的距离。要研究的集合是 L = {P : |PA| = |PB|}。设 M 是线段 AB 的中点，m 是过 M 且与 AB 垂直的那条直线。命题：L = m。
一半（m 里的点都在 L 里）：设 P 在 m 上。若 P = M，由中点定义直接得 |PA| = |PB|。否则比较 △PMA 与 △PMB：|MA| = |MB|，∠PMA = ∠PMB = 90°，PM 是公共边，由 SAS 得两者全等，故 |PA| = |PB|。
另一半（L 里的点都在 m 里）：设 |PA| = |PB|。若 P 落在直线 AB 上，等距只能给出 P = M。否则连 PM，此时 |PA| = |PB|、|MA| = |MB|、PM 公共，由 SSS 得 △PMA ≅ △PMB，于是 ∠PMA = ∠PMB。这两个角相加是平角，又彼此相等，各为 90°，即 P 在 m 上。
两个方向都成立，所以 L = m。角平分线用的是同一句式：记 d(P, ℓ) 为 P 到直线 ℓ 的垂线段长，则角内满足 d(P, OX) = d(P, OY) 的点集，恰是 ∠XOY 的平分线。
跟着做一遍
在坐标纸上取 A(-3, 0) 和 B(3, 0)。不要先画中垂线，改成反过来问：满足 PA = PB 的点 P(x, y) 要满足什么方程？把这个方程算出来，再看它长什么样。
- 取 A(-3, 0)、B(3, 0)，两点的中点就是原点 O(0, 0)。
- 设 P(x, y)，写出两个距离的平方：PA² = (x+3)² + y²，PB² = (x-3)² + y²。
- 距离非负，所以 PA = PB 与 PA² = PB² 是同一件事。令两式相等。
- 展开：x² + 6x + 9 + y² = x² - 6x + 9 + y²。
- x²、y²、9 全部消掉，只剩 12x = 0，即 x = 0。
- x = 0 就是 y 轴：它过中点 O，且垂直于 AB。注意方程里对 y 没有任何限制，y 可以取任何值——所以轨迹是整条直线，不是一个点。
- 代两个点检验。P(0, 4)：PA = √(9+16) = 5，PB = √(9+16) = 5，相等。P(1, 4)：PA = √(16+16) ≈ 5.66，PB = √(4+16) ≈ 4.47，不相等，因为它偏向了 B。
- 换一对点重做一次，比如 A(0, 0)、B(4, 6)，会得到 4x + 6y = 26，同样是一条过中点且垂直于 AB 的直线。
结果
到 A、B 等距的点集是方程 x = 0 描述的整条直线，中点只是它与 AB 的唯一交点。代数上最有说服力的一步是：平方展开后 x² 和 y² 被同时消掉，剩下的是一个一次方程——这正是「这个集合是一条直线」的证据，也说明它一个点都不多、一个点都不少。