抽样与样本均值：你手上那一份
你永远只有一份样本。样本均值是一个随机变量——它自己也有分布，而这正是后面一切推断的起点。
6 分钟思维方法: 概率直觉
把不确定当成可以计算的对象，而不是没法算的借口
这一片为什么存在
两个人从同一筐苹果里各挑 20 个称重，算出来的平均数不一样。第一反应通常是「谁称错了」。但这里没有人出错——那两个数本来就该不一样。这一片要讲清楚的是：这个「不一样」不是噪声，它有确定的形状，而后面所有的统计推断，都盖在这个形状上面。
内容
总体均值 μ 是一个固定的数——那一筐苹果真实的平均重量，它就摆在那里，只是你不知道。你能做的只有抽一把出来称。抽到哪一把是随机的；于是你算出的那个平均数，也是随机的。
换个角度看：样本均值不是「μ 的一个略带误差的读数」，而是一台机器的输出。机器的输入是「这一次抽到了谁」，输入随机，输出就随机。既然是随机变量，它就有自己的分布——有中心，也有宽度。中心恰好落在 μ 上，这是好消息；宽度不为零，这是你必须接受的代价。
大数定律说 n 变大时这个宽度会缩。但它没说宽度会缩到零，更没说你手上这一份就是靠近中心的那一份。而且宽度会缩，只在「每次抽都不偏心」的前提下成立。如果你只从货架最上层拿苹果，那么无论抽多少个，这台机器的中心压根就不在 μ 上——样本量只会让你更自信地错下去。
设总体分布有均值 μ、方差 σ²，两者都是固定的数，通常未知。抽 n 个相互独立、同分布的观测 X₁,…,Xₙ，每个 Xᵢ 是随机变量，表示「第 i 次抽到什么」。样本均值定义为 X̄ₙ=(X₁+⋯+Xₙ)/n；它由随机变量算出，所以它自己也是随机变量。可以算出 E[X̄ₙ]=μ，Var(X̄ₙ)=σ²/n，标准差就是 σ/√n。真抽完一次得到的那个具体数字记作 x̄，是 X̄ₙ 的一个取值。注意 n 只出现在 √n 里：样本量翻四倍，波动才减半。
跟着做一遍
手上有四张卡片，写着 1、3、5、7。有放回地抽两张，把样本均值的整个分布算出来——不是算一次，而是把 16 种可能全算完，再看这堆数字长什么样。
- 写下总体：1、3、5、7。算 μ=(1+3+5+7)/4=4，σ²=((−3)²+(−1)²+1²+3²)/4=5。
- 有放回抽两张，记成有序对（第一张, 第二张）。共 4×4=16 种等可能结果，全部列出来。
- 对每一对算 x̄=(a+b)/2。例如 (1,7) 给 4，(3,3) 给 3，(7,7) 给 7。
- 把 16 个 x̄ 按取值归堆并计数：1 有 1 个，2 有 2 个，3 有 3 个，4 有 4 个，5 有 3 个，6 有 2 个，7 有 1 个。
- 这就是 X̄₂ 的分布。按 1/16 的权重加权求和，得期望 4。
- 算方差：2·(9·1+4·2+1·3)/16=2.5，与公式 σ²/n=5/2 对上。
- 最后数一句：16 种抽法里，恰好给出 x̄=4 的有几种？答案是 4 种。
结果
E[X̄₂]=4=μ，Var(X̄₂)=2.5=σ²/2。但 16 种抽法里只有 4 种正好命中 4——也就是说，哪怕这台机器「平均而言不偏」，你手上那一份也有 75% 的概率不等于 μ。把 n 从 2 提到 8，方差降到 5/8，分布明显变窄，可「正好等于 μ」依然不是常态。样本均值告诉你的从来不是 μ 等于几，而是 μ 大概落在哪一带。