面积：换一条底，答案为什么不变
底乘高除以二，三条底各配各的高，算出来是同一个数。这不是巧合，它是「等底等高面积相等」这条更有用的话的另一面。
6 分钟思维方法: 不变量
找一个怎么变都不变的量，用它锁死结论
这一片为什么存在
画一个很扁的钝角三角形,把最长的那条边放在底下。想量高的时候你会发现,从对面顶点垂下来的那条线落在这条底边的延长线上,压根不在三角形里面。换一条边当底,高立刻就规规矩矩地待在图形内部了——可你凭什么相信,换完之后算出来的还是刚才那个面积?
内容
先别急着套公式,先认一件事:面积是这块纸片本身的量,你还没挑底的时候它就已经在那儿了。挑哪条边当底,只是挑一把尺子去量它。所以要解释的不是「为什么答案碰巧一样」,而是「为什么三把尺子读出同一个刻度」。
关键在于,高从来不是一个独立的量,它被另一条边和夹角一起决定。把顶点 C 处的角想成一把张开的剪刀,两条边从这个角伸出去,一条长 a,一条长 b。以 a 为底时,你量的那条高其实是 b 在垂直于 a 的方向上的投影;以 b 为底时,量的是 a 在垂直于 b 的方向上的投影。张角是同一个角,压缩的比例也就完全一样:底换大了多少倍,高就被压小同样的倍数,乘积原地不动。
还有一幅图值得先记住。固定一条底,让对面的顶点沿着一条平行于底的直线滑动:高一直不变,面积就一直不变。这时候形状可以从瘦高一路变到极扁,三条边里有两条一直在变长,周长要多大有多大,面积却纹丝不动——可见周长和面积之间并没有互相锁定。这幅图就是「等底等高面积相等」,它和「换底不变」是同一件事的两面:前者移动图形而读数不变,后者换把尺子而读数不变。
记三角形 ABC 的三边长为 a = BC、b = CA、c = AB,面积记作 S。以 a 为底时对应的高记作 h_a,它是顶点 A 到直线 BC 的距离——是到直线,垂足落在线段 BC 之外也照样算。设 C 同时表示边 a 与边 b 的夹角。从 A 向直线 BC 作垂线,得到的直角三角形里斜边是 b,对着的角是 C,于是 h_a = b·sin C。(C 是钝角时,那个直角三角形里出现的是 C 的补角,而补角的正弦相同,结论不变。)同理从 B 向直线 CA 作垂线,得 h_b = a·sin C。各自乘上自己的底:a·h_a = ab·sin C,b·h_b = ab·sin C。右边一模一样,所以 S = ½a·h_a = ½b·h_b = ½ab·sin C。中间这个 ½ab·sin C 里既没有底也没有高,只有两条边和它们的夹角;三条底量的都是它。
跟着做一遍
在方格纸上画出 B(0,0)、C(4,0)、A(6,3) 这个钝角三角形,分别以 BC 和 AB 为底各算一次面积,看看两个数是不是同一个。
- 在方格纸上标出 B(0,0)、C(4,0)、A(6,3) 并连成三角形——角 C 是钝角,A 在 C 的右上方,已经越过 C 了。
- 先以 BC 为底:长度是 4。从 A 向 x 轴作垂线,垂足是 (6,0),落在 BC 的延长线上;高就是 A 的纵坐标 3。面积 = ½ × 4 × 3 = 6。
- 现在改用 AB 当底。AB 的长度 = √(6² + 3²) = √45 = 3√5 ≈ 6.71。
- 直线 AB 的方程是 x − 2y = 0:把 B(0,0) 和 A(6,3) 代进去都成立。
- 算 C(4,0) 到这条直线的距离,它就是以 AB 为底时的高:|4 − 2×0| / √(1² + 2²) = 4/√5 ≈ 1.79。
- 面积 = ½ × 3√5 × 4/√5 = ½ × 12 = 6。和第一次相等。
- 对一下变化幅度:底从 4 涨到 6.71(约 +68%),高从 3 掉到 1.79(约 −40%),乘积一分不差。
- 最后把 A 从 (6,3) 挪到 (100,3),用第一种算法重算:底还是 4,高还是 3,面积还是 6,而这个三角形的周长已经超过 200。
结果
两条不同的底,一条长 4、一条长 3√5,配上各自的高,算出来都是 6。再把顶点沿着 y = 3 滑到多远都行,面积仍旧是 6,周长却可以要多大有多大——被锁死的是「底 × 高」这个乘积,不是形状,也不是周长。