三角形内角和为什么是 180°

先换一个更简单的问题：什么时候几个角加起来恰好是 180°？答案很现成——它们肩并肩铺在一条直线的同一侧的时候。平角是 180°，这不用证，那是它的定义。

于是任务变了。我们不再需要证明「三角形的三个角和是 180°」，只需要把这三个角搬到同一个顶点上，让它们并排铺满一条直线。搬完了，结论自动出现。

怎么搬？角不能拎起来走，但平行线可以替你复制角。过顶点 A 画一条与底边 BC 平行的直线 l。现在边 AB 同时穿过 l 和 BC，它是一条截线；AC 也是。而两条平行线被截线所截时内错角相等——这正是上一片讲过的东西。

于是在 A 点，l 的左边冒出一个角，它等于 ∠B；右边冒出一个角，它等于 ∠C；中间夹着的正是 ∠A 自己。三个角首尾相接，铺在直线 l 上，不重不漏。它们的和就是 A 处的那个平角。

注意这里发生了什么。整个过程没有量任何一个角，也没有用到「这一个三角形」的任何特征。不管它是钝角的、瘦长的、还是快压扁成一条线的，那条平行线永远画得出来，内错角永远相等。所以这一次论证覆盖了所有三角形，包括还没有人画出来的那些——这就是为什么不必再验一次。

橙子皮上那个三角形之所以是 270°，只因为球面上过一点画不出与已知大圆平行的大圆。搬角的第一步就做不了。

记三角形为 △ABC，三个内角写作 ∠A、∠B、∠C，其中 ∠A 指顶点 A 处由边 AB 与 AC 夹出的角。

过 A 作直线 l，使 l ∥ BC。在 l 上 A 的两侧各取一点 P、Q，其中 P 与 B 在直线 AC 的同侧。

边 AB 是 l 与 BC 的截线，内错角相等，故 ∠PAB = ∠B。同理，边 AC 作截线给出 ∠QAC = ∠C。

P、A、Q 三点共线，且 ∠PAB、∠BAC、∠CAQ 互不重叠、恰好填满 l 在 A 处这一侧的平角，故 ∠PAB + ∠BAC + ∠CAQ = 180°。

代入两个内错角等式，得 ∠B + ∠A + ∠C = 180°。

全程只借了一条前提：过 A 存在且只存在一条平行于 BC 的直线。换掉这条平行公设，结论就跟着换。