三角不等式：两边之和为什么必须大于第三边
直线是两点之间最短的路。绕经第三个点只会更长，所以三条线段能围成三角形是有条件的，而且三个条件都要验。
7 分钟思维方法: 估算与放缩
不求精确值，先卡出它落在哪两个数之间
这一片为什么存在
三根木棍：2 厘米、3 厘米、9 厘米。把 9 厘米那根平放在桌上，另外两根从两端往中间够，中间还空着 4 厘米，怎么转都合不拢。旁边有人验了一下 3+9>2，说条件明明满足。问题正出在这里——能不能拼成三角形，动手之前就该算得出来，而要验的从来不是一条式子。
内容
从家到学校，中间路过一趟便利店。绕这一下，路程只会比直接去更长——最多在便利店正好落在那条直线上时打平。这句话没人会反对，而三角不等式就是这句话，一字不差。
翻译成三角形：三个顶点 A、B、C，从 A 到 C 有两条路，一条是直接沿边 AC 走，一条是先拐到 B 再到 C。后者不可能更短，所以 AB + BC ≥ AC。
现在把它反过来用。手里三根棍子，想拼三角形，等于在问：能不能摆出「绕路更长」的样子。把最长的一根 c 平放，另外两根 a、b 各钉在 c 的一端，像圆规一样转。a 和 b 的自由端能够到的最远处，加起来是 a+b。要让两个自由端碰上，a+b 至少得够到 c。
三种情况在这里分开。a+b < c 时，两根合起来都不够长，中间永远空一截，怎么转都合不拢。a+b = c 时，唯一碰得到的姿势是两根一起平躺压在 c 上，三个点挤在同一条直线上，围出的面积是 0——那是一条线段，不是三角形。a+b > c 时，两个自由端在 c 的上方相遇，而且能在对称的两个位置相遇，三角形出现了。
所以等号是分界线，不是及格线。
至于为什么要验三条：「绕路更长」对每一对顶点都得成立，三条边要轮流当那条「直接走的路」。省事的办法确实有——只要最长边小于另外两条之和，剩下两条自动成立。但用它的前提是，你已经认出哪条最长。
设三条线段长为 a、b、c，三个都是正数。它们能围成一个真正的三角形（有面积、三顶点不共线），当且仅当 a+b>c、b+c>a、c+a>b 三条同时成立，而且都是严格不等号。
符号交代：a、b、c 只是三段长度，谁大谁小事先没有预设；> 是严格大于，把等号挡在外面，因为等号对应的是三点共线的退化情形。
三角形已经画出来时，这组式子是定理：任意两边之和大于第三边。用它去判断三段长度能不能成边，走的是逆命题，而逆命题同样成立。
还有一个省力的等价版本：把三段按 a ≤ b ≤ c 排好，只需检验 a+b>c 一条。因为 c ≥ b 且 a > 0，所以 a+c>b；因为 c ≥ a 且 b > 0，所以 b+c>a。这两条不用验。
跟着做一遍
拿纸笔，四组长度，逐一判断能不能拼成三角形。A：2、3、9。B：3、4、7。C：5、5、9。D：6、8、10。先自己判完再往下看步骤，特别留意 A 和 B——它们是两种不同的失败。
- 每组按从小到大排好：A(2,3,9)、B(3,4,7)、C(5,5,9)、D(6,8,10)。排完之后，最右边那个就是要被比较的最长边。
- 只验一条：前两个数之和，是不是严格大于第三个数。
- A：2+3=5，最长边是 9，5 < 9，还差 4，拼不成。注意 3+9>2 和 2+9>3 其实都成立——成立两条毫无用处，三条必须全中。
- B：3+4=7，最长边正好是 7。等号，拼不成。把 3 和 4 从 7 的两端放倒，它们首尾恰好相接，三个点连成一条直线，面积是 0。
- C：5+5=10 > 9，成立。两根 5 从 9 的两端立起来，在上方相遇，得到一个又扁又宽的等腰三角形。
- D：6+8=14 > 10，成立。顺带一提，6²+8²=10²，它还是个直角三角形。
- 回头把 C 的另外两条也验一遍，看省力版本有没有骗人：5+9=14>5，成立；另一条同理。三条全中。
- 最后换个问法：已经有 5 和 9 两根，第三根允许多长？上界是 5+9=14，下界是 9−5=4，第三根必须严格落在 4 和 14 之间。C 组的第三根是 5，正好在区间里。
结果
能拼成的只有 C 和 D。A 和 B 输的方式不一样：A 是最长边太长，另外两条加起来还差 4；B 是恰好相等，而等号不是勉强及格，是已经塌成一条线段。整个判断压缩成一句话——挑出最长的那条，看另外两条之和有没有严格超过它。第 8 步给的东西还更多一点：两边一旦定下，第三边并非随便取，它被卡在两边之差和两边之和这两个数中间。不量角，不算面积，一次加法一次减法，全部可能就被框死了。