条件概率：把样本空间换掉

先别管公式，想一件事：概率是一个比例，而比例总要说清「从多少里挑」。这个「多少」就是样本空间。平时它藏在背后不出声，因为它从头到尾没变过。

「已知 B 发生了」这句话干的事，是把背后这个东西整个换掉。原来你面对的是全部一万人，现在你面对的是「检测呈阳性的那一批人」。不是在原来的答案上乘一个修正系数，是重新划出一块地，然后在这块地里从头数。

画出来最清楚。画一个大方框代表所有可能结果，里面画两个圈 A 和 B。原来问 P(A)，算的是 A 占大方框的多少。现在告诉你 B 发生了，大方框作废，B 这个圈本身变成新的方框，框外的一切消失。问题于是变成：A 和 B 的重叠部分占 B 的多少。

分子是重叠的那块，分母是 B 的全部。就这些。

回头看开头那个检测。一万人里 1 个真有病，检测阳性；剩下 9999 个没病的人，1% 误报，约 100 个也阳性。阳性的人一共约 101 个，其中真有病的只有 1 个。

「检测很准」说的是：在「有病」这块地里，阳性的比例极高。你真正想知道的是：在「阳性」这块地里，有病的比例是多少。两块地，一块装 1 个人，一块装 101 个人。重叠区域是同一块，除以不同的分母，得到的是两个毫不相干的数。

所以 P(A|B) 和 P(B|A) 不是同一个数。它们甚至不该被放在一起直接比较，因为分母来自两个不同的世界。

还有一种更隐蔽的错法。分子取对了——「B 发生且 A 也发生」的那些情形——分母却写成了总人数，或者写成 A 发生的次数。分母必须是 B 发生的全部情形，一个不多一个不少。新的样本空间就是 B，不是别的任何东西。

定义：设 P(B) > 0，则 P(A|B) = P(A∩B) / P(B)。

逐个交代符号。A 和 B 是两个事件，都是样本空间 Ω 的子集。A∩B 表示「A 与 B 同时发生」这个事件，就是图上那块重叠区域。条件 P(B) > 0 不是技术性的挑剔：若 B 根本不可能发生，「已知 B 发生」这句话就没有内容，新分母是 0，式子失去意义。

竖线「|」读作「在……条件下」，左边是你要问的事件，右边是你已经知道的事件。左右不能互换。换过来得到的是 P(B|A) = P(A∩B) / P(A)，分子一模一样，分母换了人。这正是 1 和 101 的差别。

值得留意的是：分子里的交集是对称的，P(A∩B) = P(B∩A)。全部的不对称都来自分母。所以「P(A|B) 与 P(B|A) 谁更大」只取决于 P(A) 与 P(B) 谁更小。

两边同乘 P(B)，得到乘法公式 P(A∩B) = P(B)·P(A|B)。它说的是同一件事，只是读法反过来：先让 B 发生，再在 B 里面让 A 发生。