有放回与无放回：第二次抽的分母变没变
放回去，第二次的样本空间和第一次一样；不放回，它少了一个。整个区别就在那个分母上，而它决定了两次抽取独不独立。
6 分钟思维方法: 概率直觉
把不确定当成可以计算的对象，而不是没法算的借口
这一片为什么存在
袋里 3 红 2 白,不放回连抽两个,两次都红的概率是多少?常见的三个答案是 3/5×3/5、3/5×2/5、3/5×2/4,分别对应"什么都没变""只有分子变了""分子和分母一起变"。只有一个是对的,而错的那两个错在不同的位置上。这一片要做的,就是把第二个因子的分子和分母拆开,各自问一句凭什么变。
内容
把袋子当成一个会变的东西,而不是一张固定的概率表。
有放回:你抽出来看一眼,再放回去摇匀。袋子回到了你动手之前的样子。第二次面对的是同一个袋子、同样的 5 个球、同样的 3 个红。所以第二次的概率和第一次逐字相同,第一次抽到什么对它没有任何影响,这正是"独立"在这里的全部含义。
不放回:那个球被你拿走了,袋里只剩 4 个。两件事同时发生。总数铁定少 1,这是分母;红球少没少,取决于你第一次抽的是不是红,这是分子。分母是无条件变的,分子是有条件变的。
所以不放回时,"第二次抽到红的概率"根本不是一个数,而是一族数,每个对应第一次的一种结果。你得先补上"在第一次抽到红的前提下",这个数才有意义。
记袋中共 N 个球,其中 K 个红。A₁ 表示第一次抽到红,A₂ 表示第二次抽到红。
两种抽法共用同一条乘法公式:P(A₁∩A₂) = P(A₁)·P(A₂|A₁),区别只落在右边那个条件概率上。
有放回:P(A₂|A₁) = K/N = P(A₂)。条件没起作用,这就是独立的定义。
不放回:分母一律是 N−1,没有例外;分子看条件,P(A₂|A₁) = (K−1)/(N−1),而 P(A₂ | 第一次抽到白) = K/(N−1)。
两个条件概率不相等,所以不放回时 A₁ 与 A₂ 不独立。
跟着做一遍
袋里 3 红 2 白,连抽两次。在有放回和不放回两种规则下,分别算"两次都是红"和"恰好一红一白"。先别看步骤,自己把这四个数写下来。
- 有放回·两红:第二次面对的还是 3 红 2 白,所以 3/5 × 3/5 = 9/25 = 0.36。
- 有放回·一红一白:红白和白红两种顺序都要算,3/5×2/5 + 2/5×3/5 = 12/25 = 0.48。
- 不放回·两红:第一次 3/5;此时袋里剩 2 红 2 白,第二次 2/4。相乘得 6/20 = 3/10 = 0.3。
- 不放回·一红一白:先红后白是 3/5×2/4,先白后红是 2/5×3/4,两者都等于 6/20,相加得 12/20 = 0.6。
- 盯住分母:不放回时第二个因子的分母全是 4,一个例外都没有;分子却在 2 和 3 之间切换,取决于第一次抽了什么。
- 封口检查:有放回是 9/25 + 12/25 + 4/25 = 1;不放回是 3/10 + 6/10 + 1/10 = 1。两边都不多不少。
- 验独立性:不放回时 P(第二次红|第一次红) = 2/4 = 0.5,P(第二次红|第一次白) = 3/4 = 0.75,两者不等,所以不独立。有放回时两个都是 3/5,所以独立。
结果
有放回是 (0.36, 0.48),不放回是 (0.3, 0.6)。不放回把"两次都红"压低了,把"一红一白"抬高了,因为拿走一个红球会让第二次抽红变难。最后再顺手验一件容易被误解的事:不放回时第二次抽到红的无条件概率是 3/5×2/4 + 2/5×3/4 = 12/20 = 3/5,和第一次一模一样。袋子确实变了,但在你还不知道它怎么变的时候,把两种情况按权重合起来,它又回到了原处。