坐标法：把几何题换成代数题
给图形安上坐标，距离和垂直就都变成了式子。代价是算量，收益是不再需要灵感——而原点和坐标轴怎么放，直接决定这笔交易划不划算。
8 分钟思维方法: 换表示
同一个对象换一种写法，难题可能自动变简单
这一片为什么存在
同一道几何题，两个人都用坐标法。一个人五行算完，另一个人写满两页纸还在跟根号纠缠。他们的代数水平差不多——差别只在于，原点被放在了哪里。
内容
一张几何图上其实一个数都没有。有的只是点、线，和它们之间的关系：这两条边一样长、这两条线互相垂直、这三点共线。要从这些关系推出新结论，你得找到那条正好把已知和结论接上的辅助线。找不到就卡住，而找不找得到，很大程度上取决于运气和你见过多少题。
坐标法做的事情是：先给平面上每个点发一个号码牌，写成一对数 (x, y)。号码牌一发下去，关系就跟着变成算式。两点之间多远？套距离公式。两条线垂不垂直？看两个斜率乘出来是不是 −1。原本需要灵感的那一步，变成了照着做就一定能做完的一步。这就是这套方法真正卖给你的东西：确定性。
代价也是真的。你把「想出来」换成了「算出来」，而算式可以长到让人写不下去。所以决定这笔交易划不划算的，往往不是你会不会算，而是坐标系怎么放。
这里有件容易被忽略的事：图形本身并不知道原点在哪。你把原点摆在哪、坐标轴指向哪，那个图形还是那个图形，该成立的结论一个也不会变。既然怎么放都对，你当然该挑最省事的放法。常用的三条经验是：让直角顶点坐到原点上；让一条边躺在 x 轴上；有对称轴就让对称轴充当 y 轴。每这样安排一次，就有一批坐标变成 0，而每一个 0，都是一整串你永远不必写出来的代数项。
还有一点得说清楚：这样算出来的东西，是不折不扣的几何证明，不是近似、也不是验算。前提是你用字母，不用具体数字。
取定一个直角坐标系后，平面上每个点 P 对应唯一一对实数 (x, y)：x 是 P 到 y 轴的有向距离，y 是 P 到 x 轴的有向距离。
距离。设 A(x₁, y₁)、B(x₂, y₂)，则 |AB| = √((x₁ − x₂)² + (y₁ − y₂)²)。这不是一条新定理。以 AB 为斜边、两条直角边平行于坐标轴作一个直角三角形，两条直角边长分别是 |x₁ − x₂| 和 |y₁ − y₂|，对它用勾股定理就得到上式。
中点。线段 AB 的中点 M 坐标为 ((x₁ + x₂)/2, (y₁ + y₂)/2)，即两端坐标各取平均。
垂直。若直线 l₁、l₂ 的斜率分别是 k₁、k₂，则 l₁ ⊥ l₂ 当且仅当 k₁k₂ = −1。竖直线没有斜率，这时改用向量：两向量垂直，当且仅当它们 x 分量之积与 y 分量之积相加等于 0。
一条纪律：图中凡是没被条件定死的量，都必须写成字母（a、b、c…），不能顺手换成方便的数字。字母保证结论对整族图形成立，数字只验证了其中一个。
跟着做一遍
已知直角三角形 ABC，直角在顶点 A。用坐标法证明：斜边 BC 上的中线 AM 等于 BC 的一半。动笔之前先只做一件事——决定坐标系怎么放。
- 在草稿纸上画出这个直角三角形，标出直角顶点 A、斜边 BC。先不要写任何数字。
- 把 A 放在原点，两条直角边分别压在 x 轴和 y 轴上。于是 A(0, 0)、B(2b, 0)、C(0, 2c)，其中 b、c 是任意正数。写成 2b、2c 而不是 b、c，是为了下一步取中点时不出现分数。
- 用中点公式求 M：横坐标 (2b + 0)/2 = b，纵坐标 (0 + 2c)/2 = c。所以 M(b, c)。
- 算 AM：AM = √((b − 0)² + (c − 0)²) = √(b² + c²)。
- 算 BC：BC = √((0 − 2b)² + (2c − 0)²) = √(4b² + 4c²) = 2√(b² + c²)。
- 比较两式，得 AM = BC/2。b、c 自始至终是字母，所以这个结论对每一个直角三角形都成立。
- 感受一下代价：把原点挪开，改用 A(1, 2)、B(1 + 2b, 2)、C(1, 2 + 2c) 重算一遍。结论一模一样，但每个括号里都多出一项要相消。
结果
AM = BC/2 得证，全程只用了一次中点公式和两次距离公式，一条辅助线也没作，更不需要想到「以 BC 为直径作圆」那类构造。这笔账之所以只有四行，功劳几乎全在第 2 步：直角顶点坐到原点、直角边压上坐标轴，六个坐标里立刻有四个是 0；而把边长写成 2b、2c，又让中点公式不产生分数。第 7 步会让你亲眼看到，同一道题换个放法，要多写多少东西。