代数变形基本功
展开、因式分解、通分、指数律——把式子换个样子但不改变它的值。整条微积分主干上每一次计算都踩在这一步上。
9 分钟思维方法: 换表示
同一个对象换一种写法，难题可能自动变简单
这一片为什么存在
很多人是在微积分课上才发现自己代数不熟的——但当时他们以为自己不懂的是极限。真正卡住的地方长这样：要算 (√(x+h) − √x)/h 在 h 很小时的行为，直接把 h=0 代进去得到 0/0，然后就没有然后了。这里缺的不是极限的定义，是把式子换个写法的手感。这一片专门补这个手感：给你一条判断「什么变形合法」的短判据，用它一次性解释那几个人人都犯过的错为什么错，最后用它当场推倒一个你以为需要微积分才能碰的式子。
内容
先不看字母，看数。0.5、1/2、2/4、2^(−1) 是同一个数，但它们摆在明面上的信息不一样：写成 1/2 你一眼看出它是 1 的一半；写成 2^(−1) 你才能把它塞进指数律里连着算；写成 0.5 你才好跟 0.49 比大小。数没变，能读出来的东西变了。
代数式也一样。x²−1 和 (x−1)(x+1) 对每一个 x 都给出同一个数，但只有后者把「在 x=1 和 x=−1 处等于零」这件事直接写在脸上。所以变形不是「朝答案的方向走了一步」，而是原地把这个式子转了个角度，直到写着答案的那一面朝向你。式子的值是你转动过程中锁死不变的东西；变的只有你能看见的那一面。
于是关键问题变成：哪些「转法」不会碰坏它？答案短得出奇——只有两招。
第一招，加一个花式写法的 0：比如配方时的 +9−9，比如凑项时的 +2ab−2ab。
第二招，乘一个花式写法的 1：比如 ×(x+1)/(x+1)，比如分子有理化时的 ×(√A+√B)/(√A+√B)。
再加上把已经写好的东西按分配律、交换律、结合律重新分组。就这些。你学过的每一个恒等变形，拆到底都是这两招的组合。
这条判据真正的好处是：它同时告诉你哪些不合法。看这几个经典错误——
(a+b)² = a²+b²：正确展开是 a²+2ab+b²，写成 a²+b² 等于把 2ab 直接扔了。扔掉一项既不是加 0 也不是乘 1，它就是丢东西。a=3, b=5 时左边 64、右边 34，差了 30，不是差一点。
√(a²+b²) = a+b：这是让根号穿过加号。根号只对乘除通行（√(ab)=√a·√b），对加减不通行。a=3, b=4 时左边是 5，右边是 7——这两个数你很熟，它们是直角三角形的斜边和两条直角边之和，本来就不该相等。
1/(a+b) = 1/a + 1/b：同一个病在倒数上的版本。a=b=2 时左边 0.25，右边 1，差 0.75。
分子分母同加一个数，值不变：这个最值得单独说，因为它离合法只差一步。a/b = (ka)/(kb) 是对的（k≠0），因为你乘的是 k/k = 1；但 a/b 和 (a+c)/(b+c) 之间根本找不出一个等于 1 的因子——你加的那个 c 不是 0。1/3 的分子分母各加 1，变成 2/4 = 0.5，是原来的 1.5 倍。
四个错误，一条判据全部解释掉：它们都既不是加 0，也不是乘 1。
约定：下文 a, b, c, d, k, x, h 都表示实数；指数律里的 m, n 表示整数（推广到有理数指数要另外的工具，这里不碰）。
恒等式：等号两边对定义域内的每一个取值都相等的等式。它和方程不是一回事——x²−1=0 是方程，只在 x=±1 处成立；x²−1=(x−1)(x+1) 是恒等式，对每个实数都成立。这一片讲的全是恒等式的变形；解方程是另一回事。
工具箱（每一条都能用「加 0 / 乘 1 / 重新分组」验证）：
1. 分配律 a(b+c) = ab + ac。从左往右读叫展开，从右往左读叫提公因式。同一条律，两个方向——这就是为什么「展开」和「因式分解」不该当成两门手艺来学。
2. 平方差 (a−b)(a+b) = a² − b²。
3. 完全平方 (a±b)² = a² ± 2ab + b²。中间那个 2ab 是唯一被反复丢掉的项。
4. 通分 a/b ± c/d = (ad ± cb)/(bd)，要求 b≠0、d≠0。例：1/x − 1/(x+1) = 1/(x(x+1))。
5. 约分与扩分 a/b = (ka)/(kb)，要求 b≠0、k≠0。注意 k≠0 是本质的：k=0 时你乘的是 0/0，不是 1。
6. 指数律 aᵐ·aⁿ = a^(m+n)，(aᵐ)ⁿ = a^(mn)，a^(−n) = 1/aⁿ（a≠0）。
7. 根式的通行范围 √(ab) = √a·√b（a,b ≥ 0），√(a/b) = √a/√b（a ≥ 0, b > 0）。对加减不通行。
最后一件必须交代的事：变形可能改变定义域。(x²−1)/(x−1) = x+1 这个等号只在 x≠1 时成立——左边在 x=1 处没有定义，右边有。严格写法要把条件带上：(x²−1)/(x−1) = x+1（x≠1）。做微积分时，「除了一个点以外处处相等」恰好就是你要的东西，但你得知道自己正在用它，而不是稀里糊涂地用。
跟着做一遍
把 (√(x+h) − √x)/h 化成一个「h 取 0 也能直接读出结果」的形式（设 x>0, h≠0, x+h>0）。动手之前，先自己把 h=0 代进原式，看清它为什么读不出来。
- 看清障碍：h=0 时分子是 √x − √x = 0，分母是 0，得到 0/0。注意 0/0 的含义不是「这个式子没有值」，而是「这个写法什么都没告诉你」。障碍在写法上，所以换写法。
- 选招：这里没有现成的 0 可加，那就乘 1。乘哪个 1？挑一个能把根号消掉的——(√(x+h) + √x) / (√(x+h) + √x)。它确实是 1：x>0 时 √(x+h) + √x > 0，分子分母完全相同。
- 算分子：(√(x+h) − √x)(√(x+h) + √x) 正好是平方差，等于 (√(x+h))² − (√x)² = (x+h) − x = h。两个根号一次性全消掉了。
- 现在式子是 h / [ h·(√(x+h) + √x) ]。因为 h≠0，可以约掉 h（约分是扩分的逆向，合法），得到 1 / (√(x+h) + √x)。
- 先验算再高兴。取 x=4, h=5：原式 = (√9 − √4)/5 = (3−2)/5 = 0.2；新式 = 1/(√9 + √4) = 1/(3+2) = 0.2。一致。
- 现在看新形式在 h 变小时的样子。x=4, h=0.01：1/(√4.01 + 2) ≈ 1/4.0025 ≈ 0.2498。h 越小，√(x+h) 越贴近 √x，整个式子越贴近 1/(2√x)；x=4 时就是 1/(2·2) = 0.25。而原来那个写法在 h 变小时只会越来越像 0/0，一个字都读不出来。
结果
(√(x+h) − √x)/h = 1/(√(x+h) + √x)，对 x>0、h≠0、x+h>0 成立。两个写法在每一个允许的 (x,h) 上给出同一个数——值从头到尾没动过。但只有右边在 h 很小时读得出 1/(2√x)，也就是 √x 的导数。而你刚才没有用到任何微积分，只用了一次「乘 1」和一次平方差。这就是为什么代数变形卡住的人，会误以为自己卡在微积分上。