极限的运算法则

想象你在测量一个用两根杆子拼成的东西的总长度。左边那根，你的尺子越来越精确，读数稳定收敛到 3 米；右边那根稳定收敛到 5 米。那么总长度的读数呢？显然越来越接近 8 米。你不需要任何新理论——因为"越来越接近 3"加上"越来越接近 5"，合起来就是"越来越接近 8"。误差会累加，但两个都在缩小的误差，加起来还是在缩小。

这就是极限运算法则的全部直觉：极限过程可以穿过加减乘除。你可以先取极限再运算，也可以先运算再取极限，结果一样。这让计算从"分析整个复杂表达式的趋近行为"降级成"分别算几个简单块，然后做一次算术"。这是化归的典型动作：把不会的问题拆成会的问题。

但请注意上面那句话里被我加粗的前提没写出来的部分：两根杆子都得有确定长度。如果右边那根杆子在你测量的过程中越抖越厉害，根本没有收敛到任何数，那"总长度趋于什么"就不是靠"3 + 右边的极限"能回答的了。这时候法则不是给出错误答案——它是根本不适用，它什么都没说。

这个区别极其重要，也是最容易被误用的地方。很多人把法则记成"极限可以和任何运算随意交换次序"，然后遇到 lim(f + g) 时，发现 lim f 和 lim g 都不存在，就断言 lim(f + g) 也不存在。这是把法则反着用了。法则说的是"如果两边都存在，则等式成立"，它没说"如果有一边不存在，则左边也不存在"。事实上 f(x) = 1/x 和 g(x) = -1/x 在 x→0 处极限都不存在，但它们的和恒等于 0，极限漂亮地存在。两个疯狂抖动的东西可以互相抵消——法则对这种情况保持沉默，因为它的前提没被满足。

除法还多一道关卡。即使 lim f 和 lim g 都存在，如果 lim g = 0，商的法则也失效——因为你没法除以 0。这正是所有有趣的极限问题（导数定义、0/0 型）藏身的地方：法则用不上的时候，才需要真本事。

设 x→a 时 lim f(x) = L，lim g(x) = M，且 L、M 都是实数（都存在、都有限）。这里 L、M 是两个确定的实数，a 是自变量趋近的那个点（f、g 在 a 处是否有定义无所谓）。则：

- 和差：lim[f(x) ± g(x)] = L ± M
- 数乘：lim[c·f(x)] = c·L，c 为任意常数
- 乘积：lim[f(x)·g(x)] = L·M
- 商：lim[f(x)/g(x)] = L/M，附加条件 M ≠ 0

三点必须刻在脑子里：

1. 这些是充分条件，不是充要条件。左边存在推不出右边两个都存在。
2. L、M 必须是实数。"lim f = ∞"不算极限存在，法则一概不适用，∞ - ∞、0·∞ 都不能用这里的等式处理。
3. 商的 M ≠ 0 是硬门槛，不是提醒。M = 0 时法则不给结论，得另想办法。

多项式与有理函数因此可以直接代入求值：由 lim x = a 和 lim c = c 出发，反复用乘积与和的法则即可。