定义域与值域

想象一台自动售货机。定义域是投币口那一关：它对能接受什么有明文规矩——不收纸币、不收外币、不收弯了的硬币。值域是出货口的清单：不是货架上贴了什么，而是真的掉下来过什么。

这两件事的难度完全不对称，这是本片最想让你记住的一点。

定义域是排除法。你扫一遍式子：看到分母就写 ≠0，看到偶次根号就写 ≥0，看到 log 就写 >0，没被点名的 x 全都合法。判断某个 x 合不合法，你甚至不需要真的算出函数值——只要检查它有没有踩到禁区。

值域是存在性。要说「y=9 在值域里」，你欠一个证据：一个具体的 x，喂进去真的吐出 9。要说「y=2 不在值域里」，你欠的更多：你得证明没有任何 x 能做到。而「图看起来盖住了这一段」不构成证明——函数图像上完全可以有一个宽度为零、肉眼永远看不见的洞，缩放多少倍都看不出来。

一句话：定义域用眼睛扫，值域必须动笔解。

记 f: D → ℝ。

· D 叫定义域(domain)，是允许代入的 x 的集合。
· 值域(range，也叫像 image)记作 f(D) = { f(x) : x ∈ D }，即所有被实际取到的 y 组成的集合。
· 这里的 ℝ 是陪域(codomain)，是「我们允许 y 待的地方」。f(D) ⊆ ℝ，而且这个包含通常是真包含——摘要说的「真的能吐出来的 y」，指的就是 f(D)，不是 ℝ。

题目只给一个表达式、不声明 D 时，约定取自然定义域：使该表达式在实数范围内有意义的最大集合。三条常见限制：

· 分母 h(x)：要求 h(x) ≠ 0
· 偶次根号 √g(x)：要求 g(x) ≥ 0（是 ≥，等号能取，√0 = 0 完全合法）
· 对数 ln g(x)：要求 g(x) > 0（这里是严格大于，真数不能是 0）

一个式子同时含多条限制时，D 是这些条件的交集 ∩ 而不是并集：每一条都必须同时成立。这是写错最多的一步。

值域的定义本身就藏着求它的方法：

y ∈ f(D) ⟺ ∃ x ∈ D 使得 f(x) = y。

右边是一个「关于 x 的方程有没有解」的问题。把 y 当已知常数、x 当未知数，从 f(x) = y 中解出 x = φ(y)，那么「哪些 y 可行」就变成了「φ 的定义域是什么」——一个你上一段刚学会怎么做的问题。这就是本片的核心手法。