连续性
f 在 a 处连续要同时满足三件事：f(a) 有定义、极限存在、两者相等。任何一条塌掉就是间断。
11 分钟思维方法: 极限过程
不问到了没有，只问越来越接近什么
这一片为什么存在
你大概已经会用「一笔能不能画下来」判断连续，而且多数时候答案还是对的。麻烦在于它不是判据：它不告诉你在哪一点查、按什么标准查，也处理不了你压根画不出来的函数。这一片把那点手感换成一个能在单个点上机械执行的三步检查——以及塌了哪一步意味着什么。
内容
把连续想成一件很小的事：只关于一个点 a，只关于 a 附近发生了什么。
从两边慢慢走向 a，函数值会一路预告一个数：「再往前一点，我就到 2 了。」这是极限，它只看 a 附近，从不看 a 本身。而 f(a) 是函数在 a 这一点实际公布的值。连续说的就是一句话：预告和公布一致。
于是塌的方式恰好有三种，对应三个不同的坏消息。
第一种，没有公布的值。a 不在定义域里，f(a) 根本不存在，无从比较。
第二种，没有预告，或预告互相打架。左边说 3、右边说 4；或者两边都往无穷跑。极限不存在，同样无从比较。
第三种，预告了、也公布了，但两个数不一样。图像上就是一个孤零零的点被挪到了别处。
这三条谁也替不了谁。「f(a) 有定义」只是第一条——跳跃点两侧一样有定义，照样断。「极限存在」只是第二条——可去间断点上极限好端端地存在，只是函数值被放错了地方。必须三条同时在。
那「一笔画下来」呢？它是「在一个区间上处处连续」的图像后果，不是定义，而且很容易骗人。tan x 的图像断成无穷多段，但它在自己的定义域上处处连续：x=π/2 不是它的间断点，那里压根没有函数值可谈。间断点只能在定义域内部找——你不能说一个函数在它没有定义的地方不连续，就像不能说一场没约成的会迟到了。
反过来，连续也不保证画得出来。f(x)=x·sin(1/x)（约定 f(0)=0）在 0 处连续，可它在 0 的任意小邻域里振荡无穷多次，你的笔画不出那一段。
真正的判据只有一个，而且是逐点的：走过去时看到的那个数，和真的到了以后看到的那个数，是不是同一个。
设 f 是函数，D 是它的定义域，a 是一个数。称 f 在 a 处连续，指下面三条同时成立：
(i) a ∈ D，即 f(a) 有定义；
(ii) lim(x→a) f(x) 存在，记作 L。这里 x 取遍 a 附近但不等于 a 的点，所以 L 和 f(a) 是两个各自独立得到的数；
(iii) L = f(a)。
三条可以压成一行：lim(x→a) f(x) = f(a)。这个等号是个强声明——它同时断言左边存在、右边存在、两者相等。
单侧版本：把 (ii) 换成 lim(x→a⁻) f(x) 或 lim(x→a⁺) f(x)，得到左连续、右连续。(ii) 成立当且仅当左、右极限都存在且相等。
ε-δ 写法把三条一口吞下：对任意 ε>0，存在 δ>0，使得每个满足 x ∈ D 且 |x−a|<δ 的 x 都有 |f(x)−f(a)|<ε。注意 x ∈ D 这个限制——它让定义只在定义域内部提问，这正是 1/x 与 tan x 在各自定义域上处处连续的原因。
若 f 在区间 I 的每一点都连续（端点处取相应的单侧连续），称 f 在 I 上连续。「连续函数」永远是相对于某个集合说的，从来不是关于某个不在定义域里的点说的。
跟着做一遍
设 f(x) = (x²−1)/(x−1) 当 x<1；f(1) = 3；f(x) = x+1 当 1<x<2；f(x) = x² 当 x≥2。请在 x=1 和 x=2 处逐条检查那三件事，判断连续与否、并指出塌的是哪一条。最后回答：h(x)=1/x 在 x=0 处是不是间断点？
- x=1，第一条：分段定义直接给了 f(1)=3，有定义，通过。别停在这里——「有定义」只是三条里的一条。
- x=1，第二条：x<1 时 (x²−1)/(x−1) 可约分为 x+1（约分合法，因为求极限时 x≠1），左极限为 2；x>1 时用 x+1，右极限也是 2。左右相等，极限存在，L=2，通过。
- x=1，第三条：L=2 ≠ f(1)=3，塌在这里。f 在 1 处不连续，属于可去间断——只要把 f(1) 改定义为 2，三条就全通了。
- x=2，第一条：x≥2 那一支给出 f(2)=4，有定义，通过。
- x=2，第二条：左边用 x+1 得 3，右边用 x² 得 4，两侧不等，极限不存在，塌在这里。注意这次 f(2) 好好地存在着，照样断——而且无论把 f(2) 改成什么都补不好，这是跳跃间断。
- h(x)=1/x，先问 0 在不在定义域里。定义域是 {x : x≠0}，0 不在其中，所以「f(0)、极限、两者相等」这三件事在 0 处根本无从谈起——那里没有点可查。
- 对定义域内任意 a≠0：f(a)=1/a 有定义，lim(x→a) 1/x = 1/a 存在，两者相等，三条全通。h 在它的定义域上处处连续。
结果
f 在 x=1 处可去间断（塌第三条：极限存在却不等于函数值），在 x=2 处跳跃间断（塌第二条：极限不存在，尽管 f(2) 有定义）。h(x)=1/x 在其定义域上处处连续，x=0 不是它的间断点，只是不在定义域里——图像分两支、一笔画不下来，与连续性无关。塌的是哪一条，决定了间断长什么样、以及能不能靠改一个点补好。