拉格朗日中值定理

想象你开车一小时，走了 60 公里。平均速度是 60 km/h。有没有可能全程速度表从来没指到过 60？直觉上不可能：慢的时候低于 60，超车的时候高于 60，指针从低扫到高，必须经过 60。中值定理说的就是这件事，只是把速度表换成导数。

换成图像会更清楚。在曲线上取 A=(a,f(a)) 和 B=(b,f(b))，连一条割线，它的斜率就是这段区间的平均变化率。现在把这条割线平行地往上推。推到某一刻它就要脱离曲线了；在脱离之前的最后一个接触点上，曲线的切线只能和割线平行，否则曲线会穿过去。那个接触点就是我们要找的 c。

但『最后一刻』是画面，不是证明。真正的证明走了另一条更省力的路：既然割线碍事，那就把它减掉。

设那条割线对应的一次函数是 L，定义 g = f − L。这一减，端点处就有 g(a)=g(b)=0，因为割线本来就穿过这两点。原来要找『导数等于某个特定斜率』的点，现在只要找『导数等于 0』的点——而两端等高的函数内部必有水平切线，这正是罗尔定理管的事。

值得停一下的是 g 的来历。定理的陈述里没有 g，它不是从天上掉下来的，是被造出来的：目标是把一个斜率归零，手里唯一多余的东西就是割线，于是减掉割线。构造往往不是灵感，而是『我需要什么』倒推出来的。你以后遇到柯西中值定理、泰勒余项，用的还是同一个动作，只是减掉的东西换了。

顺一句它为什么值钱。导数是逐点的局部信息，『递增』『两个函数只差一个常数』这类结论是整段的全局信息。只要 f' 在区间内恒正，任取两点，中间必有 c 使 f(b)−f(a)=f'(c)(b−a)>0，于是 f 递增。这一步换算，就是中值定理在替你做。

设 f 在闭区间 [a,b] 上连续，在开区间 (a,b) 内可导。那么存在至少一个 c ∈ (a,b)，使得 f'(c) = (f(b) − f(a)) / (b − a)。

逐个交代符号。右边的分子是函数值的总变化，分母是自变量走过的长度，这个商就是区间上的平均变化率，也就是割线 AB 的斜率。左边的 f'(c) 是 f 在单独一点 c 处的瞬时变化率，即该点切线的斜率。等号说的是：这两个不同层级的量，在某个 c 处相遇。

两处区间写法不同，不是笔误。连续性要求到闭区间，因为端点值 f(a)、f(b) 直接出现在结论里；可导性只要开区间，端点处允许切线竖直或不存在，比如 f(x)=√x 在 0 处。

还要读清『存在』这个词。定理给的是存在性，不给位置：它不告诉你 c 等于多少，不保证 c 唯一，也不保证 c 落在中点。可导这一条同样不能省——f(x)=|x| 在 [−1,1] 上连续，平均变化率是 0，但它的导数在任何一点都不为 0。