洛必达法则

先想一个具体的场面。x 趋于 0 时，sin x 趋于 0，x 也趋于 0。问 sin x / x 趋于什么，其实是在问：这两个量谁缩得更快，快多少倍。

0/0 不是一个数，它是一句「信息不足」。分子只告诉你我在变小，分母也只告诉你我在变小，光靠这两句话定不下比值。真正决定比值的，是各自变小的速率。而速率恰好就是导数在说的事。

把它画出来。在 a 附近，一个可导函数几乎就是一条直线：f(x) ≈ f(a) + f′(a)(x−a)。若 f(a) = 0，这条直线就是 f(x) ≈ f′(a)(x−a)。同理 g(x) ≈ g′(a)(x−a)。两式相除，(x−a) 被约掉，剩下 f′(a)/g′(a)。

这就是整条法则的直觉。0/0 难算，是因为分子分母里藏着同一个趋于零的因子。求导相当于把这个公共因子剥掉，露出底下真正的比例。而且约分是自动完成的，你不需要事先看出那个因子长什么样。

∞/∞ 是同一件事的镜像。两个量都在膨胀，比值由谁涨得更凶决定，而涨得多凶仍然是导数在回答。

有了这层图像，三个常见的坑就好躲了。

第一，法则的入场券是分子分母同时趋于 0，或者分母趋于无穷。如果分母趋于 3 而分子趋于 0，极限当场就是 0。这时候动手求导，只会得到一个与原式毫无关系的数。先验类型，再动手。

第二，是分子求导、分母求导，各求各的，然后相除。这跟商法则没有关系。商法则算的是 (f/g)′，那是另一个函数的导数；洛必达要的是 f′/g′ 这个比值。两者混起来，得到的表达式和原题已经没有关联了。

第三，用过一次仍然是 0/0，不代表极限不存在，只说明公共因子不止一层。只要条件还成立，就再用一次。上面那个剥洋葱的图像，正是在说这件事。

最后是一类常见的伪装。x ln x 在 x → 0⁺ 时是 0·∞，它压根不是分式，法则无处下嘴。但写成 ln x / (1/x)，它立刻变成 ∞/∞。这一步改写不是小聪明，它就是本片真正的动作：把没见过的形状，掰成已经有工具的形状。

设 a 是实数或 ±∞。在 a 的某个去心邻域上，f 与 g 都可导，且 g′(x) ≠ 0。

若下面两条之一成立——(i) x → a 时 f(x) → 0 且 g(x) → 0；(ii) x → a 时 |g(x)| → +∞——并且 lim f′(x)/g′(x) = L，那么 lim f(x)/g(x) = L。这里 L 允许是实数，也允许是 ±∞。

逐个交代符号。去心邻域指 a 附近的一小段区间，但挖掉 a 本身，因为极限从不过问函数在 a 点的取值。g′(x) ≠ 0 是为了让右边那个商有定义。f′/g′ 是两个导函数相除，不是 (f/g)′。把 x → a 换成 x → a⁺、x → a⁻ 或 x → ±∞，结论都照旧。

请注意条件的方向。它是从导数之比有极限，推出原式有极限，反过来不成立。取 f(x) = x + sin x，g(x) = x，让 x → ∞。原式的极限是 1，但 f′/g′ = 1 + cos x 在无穷远处根本不收敛。这只说明法则在这里帮不上忙，不说明原极限不存在。

证明的引擎是柯西中值定理。它把 f(x)/g(x) 改写成某个中间点 ξ 处的 f′(ξ)/g′(ξ)，再让 ξ 被夹向 a。