微积分基本定理（上）：累积函数
把积分上限当成变量，得到累积函数 F(x) = ∫ₐˣ f(t)dt；对它求导又还原成 f(x)。求导与积分原来是一对互逆的操作。
8 分钟思维方法: 对偶
同一件事有两种互为镜像的说法，从另一边看常常更容易
这一片为什么存在
到这里,你会求导数,也会用分割与极限算定积分。但它们像两门互不相干的手艺:一个求斜率,一个求面积。而且每换一个上限,定积分就得从头算一遍。这一片装上把两者连起来的那根轴。
内容
先把定积分松开一个螺丝。∫ₐᵇ f(t)dt 是一个数,a 和 b 都钉死。现在把右端点松开,让它变成一个能滑动的 x。每滑到一个位置,就得到一个数;位置一变,数也变。于是“面积”从一个数升级成一个函数。
给它一个能摸到的形象:水龙头和桶。f 是此刻的流量,单位是升每秒;从时刻 a 开始接水,到时刻 x 为止,桶里的水量就是 F(x)。流量是“每秒多少”,水量是“一共多少”——两者差着一级。
现在问:F 涨得多快?
把时间从 x 往后推一点点,推到 x+h。这段时间里桶里多了多少水?就是那一小条竖着的面积:底是 h,高在 f(x) 附近晃动。所以增量约等于 f(x)·h。
于是 (F(x+h) − F(x))/h ≈ f(x)。h 越小,那一条越窄,f 在里面晃动的余地越小,这个约等号越紧。让 h→0,左边正是 F 在 x 处的导数。
F′(x) = f(x)。
请把这句话读成一句人话:水量的增长速度,就是此刻的流量。这不是巧合,而是同一件事的两种说法——一边记总量,一边记速度。你之所以能从总量求回速度,是因为总量本来就是速度一点点攒出来的。
两个立刻要防的坑。
第一,求导得到的是 f(x),不是 f′(x)。F 比 f 高一级,求导只是把它降回 f;想见到 f′,还得再求一次。
第二,F 不一定递增。f 是它的增长速度,f 为负的那段,桶在漏水,F 在下降。f 穿过零点并变号的地方,恰好是 F 的极值点——这条线后面找极值时会反复用到。
设 f 在区间 I 上连续,a ∈ I 是一个固定的数。定义
F(x) = ∫ₐˣ f(t)dt,x ∈ I。
符号逐个交代。a 是钉死的左端点,换成 I 里别的点,只会让 F 整体上下平移一个常数。x 是自变量,它坐在积分上限的位置。t 是积分变量,只在积分号里活着,出了积分号就不存在。
所以千万别写成 ∫ₐˣ f(x)dx。上限的 x 是外面的自变量,被积函数里的 x 是内部的哑变量;同一个字母同时干两件事,必然打架。t 这个名字本身无所谓,换成 s 或 u 都行,但必须和 x 区分开。
定理(微积分基本定理·上):若 f 在 I 上连续,则 F 在 I 上可导,且对每个 x ∈ I 有
F′(x) = f(x)。
连续性用在哪里?用在“那一小条的高在 f(x) 附近”这一步。f 若在 x 处跳一下,细条的高就不再向 f(x) 收拢,结论也就断了。
顺带一个推论。若上限不是 x,而是可导函数 u(x),那么 G(x) = ∫ₐ^{u(x)} f(t)dt 就是复合 F∘u,链式法则给出
G′(x) = f(u(x))·u′(x)。
上限是 x² 时,导数是 f(x²)·2x,那个 2x 不能丢。
跟着做一遍
取 f(t) = t − 2,a = 1,定义 F(x) = ∫₁ˣ (t − 2)dt。请动手做四件事:算出 F 的显式表达式;求导并与 f(x) 对照;说出 F 在哪里递减、在哪里最小;最后把上限换成 x²,再求一次导。
- 先算显式式子。t − 2 的一个原函数是 t²/2 − 2t,于是 F(x) = (x²/2 − 2x) − (1/2 − 2) = x²/2 − 2x + 3/2。
- 求导:F′(x) = x − 2。而 f(x) = x − 2。两者一模一样,定理在这个例子上兑现了。
- 顺手排除第一个坑:F′(x) 不是 f′(x) = 1。若导数真是 f′,F 就该是斜率恒为 1 的直线;可 F 明明是一条抛物线。
- 看单调性:x < 2 时 F′ < 0,F 递减;x > 2 时 F′ > 0,F 递增。所以这个累积函数从 1 到 2 一路在掉。
- 原因全写在被积函数的符号里。t ∈ (1,2) 时 f(t) = t − 2 < 0,积分把这一段记成负的,桶在漏水。
- 最小值在 F′ = 0 且变号处,即 x = 2,F(2) = 2 − 4 + 3/2 = −1/2。顺带 F(1) = 0,因为上下限重合。
- 换上限:G(x) = ∫₁^{x²} (t − 2)dt = F(x²)。链式法则给出 G′(x) = f(x²)·2x = (x² − 2)·2x。
- 再用显式式子核一遍:G(x) = x⁴/2 − 2x² + 3/2,求导得 2x³ − 4x = (x² − 2)·2x。一致,2x 确实该在。
结果
F(x) = x²/2 − 2x + 3/2,F′(x) = x − 2 = f(x)。F 在 (1,2) 上递减,在 x = 2 处取最小值 −1/2。上限换成 x² 后 G′(x) = (x² − 2)·2x,链式法则那个 2x 必须带上。压成一句:求导还原的是 f 本身而不是 f′,而“累积”从来不等于“递增”。