定积分的定义
定积分是黎曼和的极限——它是一个数，不是一个函数。面积只是它最容易看见的一种解释，位移、总量、质量都是同一个东西。
9 分钟思维方法: 极限过程
不问到了没有，只问越来越接近什么
这一片为什么存在
你已经会用黎曼和逼近曲线下的面积了。但紧接着符号 ∫ 出现，被一句'它就是面积'带过——于是你说不清两件事：为什么算出来可以是负的？为什么结果里没有 x？这一片把这个符号从'面积'手里拿回来，还给它真正的定义。
内容
先不看符号，只看你上一片实际做过的那件事。你把区间切碎，在每一小段上量一个 f 的值，拿它乘那一段的宽度，再把这些乘积全部加起来。加出来的是一个数。然后你切得更碎，又得到一个数；再碎一点，又一个数。你手上于是有一串数。定积分就是这串数追着不放的那个目标——不是某一个和，是这串和的极限。
这里最容易滑过去的是那个乘积 f(ξ)·Δx。它是两个量相乘，所以它的意思完全由 f 和 x 各自代表什么决定。若 x 是时间、f 是速度，乘积是这一小段时间里走过的路程，加起来就是总位移。若 x 是杆上的位置、f 是线密度，乘积是这一小段的质量，加起来就是总质量。若 f 是高度、x 是水平距离，乘积才是一个小矩形的面积。面积不是定积分的定义，它只是 f 和 x 都当成几何长度时的那一种读法。它之所以最出名，只因为它最容易画出来。
而且'面积'这个词会立刻骗你一次。乘积 f(ξ)·Δx 里，Δx 总是正的，但 f(ξ) 可以是负的。f 取负值的地方，那一段贡献一个负数，它会和正的部分互相抵消。面积没法为负，一块地不会有 −3 平方米。定积分可以为负，也可以正负抵消到恰好是 0。所以'定积分就是面积'不是说法粗糙，是会算错符号。
最后一件事，关于那个变量。切碎、取点、求和这一整套动作里，x 是你自己搭的脚手架。极限一取，切法消失，脚手架就撤了。它和 Σ 从 k=1 到 100 的 k 是同一类东西：k 用来跑完一百项，答案 5050 里没有 k，也不该有。所以一个定积分算完，结果是一个纯粹的数——不含 x，也不含你换给它的任何别名。
取闭区间 [a,b]。插入分点 a=x_0<x_1<…<x_n=b，把它切成 n 小段。第 i 段的长度记 Δx_i=x_i−x_(i−1)。在第 i 段里任取一点 ξ_i，叫取样点。作和 S=Σ 从 i=1 到 n 的 f(ξ_i)Δx_i，这就是黎曼和。再记 λ=max Δx_i，即最长那一段的长度。若 λ→0 时 S 趋于同一个数 I，且这个 I 与分点怎么插、ξ_i 怎么取都无关，就说 f 在 [a,b] 上可积，并记 I=∫(a 到 b) f(x)dx。
符号逐个交代。∫ 是求和号 Σ 拉长后的变体，提醒你底下仍是一个和。a、b 是积分下限与上限，它们框定被切的那段区间。f 是被积函数，被量的那个函数。dx 只是宣布'我切的是 x 轴'，它标记那个即将消失的变量。x 是积分变量，被 ∫ 和 dx 一起绑住，流不到结果里去。所以 ∫(0 到 1) x²dx 和 ∫(0 到 1) t²dt 是同一个数，改名不改值。
可积的门槛也比'连续'宽。在 [a,b] 上连续足以可积，但这只是充分条件，不是定义的一部分。有界且只有有限个间断点同样可积。例如 [0,2] 上取 f(x)=0（当 x<1）、f(x)=1（当 x≥1），这一个跳跃不妨碍积分存在，它的值是 1。
跟着做一遍
用定义算 ∫(0 到 2) (x−1)dx。把 [0,2] 等分成 n 段，取每段右端点作取样点，先写出黎曼和再让 n→∞。算完回头对比：这条直线与 x 轴围出的两块三角形，面积之和是多少？
- 等分：Δx=2/n，分点 x_i=2i/n。取右端点 ξ_i=2i/n，i 从 1 到 n。
- 代入被积函数：f(ξ_i)=ξ_i−1=2i/n−1。
- 写出黎曼和：S_n=Σ 从 i=1 到 n 的 (2i/n−1)·(2/n)。
- 拆成两个和：S_n=(4/n²)·Σi −(2/n)·Σ1。
- 代入 Σi=n(n+1)/2 与 Σ1=n：S_n=2(n+1)/n−2。
- 化简得 S_n=2/n。注意 λ=2/n，所以 n→∞ 与 λ→0 是同一件事，S_n→0。
- 对比面积：直线在 [0,1] 上位于 x 轴下方，围出的三角形面积是 1/2；在 [1,2] 上位于上方，面积也是 1/2。面积和为 1。
- 读出两件事。第一，下方那半真的以负数计入，才使总和归零。第二，答案是 0 这个数，里面既没有 x 也没有 i。
结果
∫(0 到 2) (x−1)dx=0，而同一条直线与 x 轴围出的面积是 1。两者不是一个量：定积分给的是带符号的累积，面积只在 f≥0 的区间上才恰好与它相等。