曲边下的面积与黎曼和

想象一块曲边的地：底边是 x 轴上的一段，上边界是一条弯曲的函数图像。你手上只有一种工具——矩形。

于是你把底边切成 10 段，每段等宽。在每一段上竖一个矩形，高度取这一段上某处的函数值。十个矩形的面积加起来，就是一个近似值。它当然不等于真实面积，矩形的平顶和曲线之间总留着一些空隙或者凸出。

关键的问题是：这个近似偏大还是偏小？答案取决于你把高度取在哪里。函数在这段区间上递增时，每段都用左端点的值，矩形都矮了一截，加起来偏小；都用右端点的值，矩形都高出一截，加起来偏大。于是真实面积被夹在了这两个数之间。这就是估算的姿势：不先问它等于几，先问它逃不出哪个区间。所以“矩形近似永远偏小”是不成立的——偏哪边由取样点和函数的升降共同决定。

现在把它切细。段数从 10 变成 100，每个矩形的宽从十分之一变成百分之一。左和与右和的差距会怎么变？把两组矩形叠在一起看，它们只在每一段的顶部差一小条。函数单调时，这些小条可以横向推到同一列里，正好拼成一个宽为 Δx、高为两端函数值之差的长条。

所以两个和的差不是“感觉变小了”，而是一个能写下来的数：区间两端的函数值之差，乘以一个矩形的宽。宽减到十分之一，这个差也减到十分之一。这一步值得停下来体会：误差有一个显式的上界，而这个上界随宽度线性地趋于零。这不是显然的，是被算出来的。

夹缝在收窄，但收窄到哪里？这里必须真的取极限，不能靠“越切越准”就宣布结束。对任何有限的段数，左和与右和始终是两个不同的数，中间还留着一条缝，真实面积藏在缝里。只有让段数趋于无穷、缝宽趋于零，两边才被挤到同一个数上。这个共同的极限，才是我们定义的面积。

顺带解决一个常见的担心：左端点法和右端点法会不会收敛到不同的数？既然它们的差有上界并且趋于零，两个极限就只能重合。取中点、取每段的最高点、甚至在每段里随手指一个点，结论都一样。

最后一件事容易被漏掉。矩形的“高”是函数在某点的取值，不是它的绝对值。当图像落到 x 轴下方时，这个值是负的，那一段贡献的是一个负数。所以黎曼和算出来的从来不是几何面积，而是带符号的面积：轴上方记正，轴下方记负。

设 f 在闭区间 [a,b] 上有界。把 [a,b] 等分成 n 段，分点记作 x_k = a + kΔx，其中 k 从 0 取到 n，Δx = (b−a)/n。这里 Δx 是每一段的宽度，x_k 是第 k 个分点，x_0 = a，x_n = b。

在第 k 段 [x_{k−1}, x_k] 上任取一点 t_k，称为样本点。以这一段为底、以 f(t_k) 为高的矩形，面积是 f(t_k)·Δx。把 n 个矩形加起来：

S_n = Σ_{k=1}^{n} f(t_k)·Δx

这个和叫做 f 的一个黎曼和。求和号下面的 k=1 和上面的 n 是求和指标的起止，f(t_k) 是第 k 个矩形的高，Δx 是它的宽。

样本点的取法给出两个常用特例：全取 t_k = x_{k−1}，得到左和 L_n；全取 t_k = x_k，得到右和 R_n。

如果存在一个数 I，使得不论样本点如何选取，都有 S_n 当 n→∞ 时趋于 I，就称 f 在 [a,b] 上可积，并把 I 记作 ∫_a^b f(x) dx。

定义里有三处需要盯住。第一，I 是极限，任何一个具体的 S_n 都不是它。第二，f(t_k) 允许为负，所以 I 是带符号的量，不是几何面积。第三，“不论样本点如何选取”是定义的一部分，正是它保证了左和与右和不会给出两个互相矛盾的答案。