三角恒等式

在单位圆上放一个点，让它从 (1,0) 出发，逆时针慢慢转。转到某个位置时，它在横轴上的影子长度就是 cos θ，在纵轴上的影子长度就是 sin θ。

现在盯着一样东西看：这个点到原点的距离。它一直是 1。你怎么转、转多快、转到第几圈，这个距离纹丝不动。

而横影子、竖影子和这段距离，恰好围成一个直角三角形，两条直角边是 cos θ 和 sin θ，斜边是 1。勾股定理立刻给出 cos²θ + sin²θ = 1。

所以这条恒等式不是一条要背的公式。它是「这个点到原点的距离永远是 1」这句话的坐标版本。

顺带说清一个写法：sin²θ 指的是 (sin θ)²，即影子长度先算出来、再平方，不是 sin(θ²)。它之所以写成平方，正因为勾股定理里出现的就是边长的平方。

再顺带说清一件更要紧的事。上面整段论证里，没有任何一步用到 θ 是 30°、45° 或 60°，用到的只有「点在圆上」。θ = 1 弧度、θ = 137°、θ = −2.6，距离照样是 1。特殊角表只是让数值好看，它跟恒等式成不成立毫无关系。

第二件事：转两次会发生什么？先转 x，再转 h，落点就是角 x+h 的位置。但「再转 h」这个动作，对已有的横影子和竖影子做的事是把它们搅在一起——新的高度里，既有旧的高度，也有旧的宽度。这就是为什么 sin(x+y) 不可能等于 sin x + sin y。

一个数就能拆穿它：sin 90° = 1，而 sin 45° + sin 45° ≈ 1.414。正弦从来不会超过 1。

搅拌的具体配方，就是和角公式。它的价值不在于让你多背两行，而在于它能把 sin(x+h) 里的 x 和 h 拆开，写成两项相乘。求导要算 sin(x+h) − sin x，如果 x 和 h 死死粘在一起，这个差就是一团解不开的东西。和角公式是唯一那把能把 h 单独拎出来的钳子。

约定：θ、x、y 都表示任意实数，单位是弧度。角度写法（如 45°）只是同一个数的另一种记法。

设 P(θ) 是单位圆上的点，即圆心在原点、半径为 1 的圆上，由 (1,0) 逆时针旋转 θ 所到之处。定义 cos θ 为 P 的横坐标，sin θ 为 P 的纵坐标。记号 sin²θ 一律指 (sin θ)²。

毕达哥拉斯恒等式：
sin²θ + cos²θ = 1

「恒等式」的意思是：对定义域内的每一个 θ 都成立。这一点区别于方程，方程只在某些特定值上成立。

和角公式：
sin(x + y) = sin x cos y + cos x sin y
cos(x + y) = cos x cos y − sin x sin y

请特别盯住第二行的减号。它极容易被记反，而且记反了很难自己发现。给自己一个三秒的验算：取 x = y = 45°，左边是 cos 90° = 0。右边用减号得 1/2 − 1/2 = 0，对上了。用加号会得到 1，错。

把 y 换成 −y，再用 cos(−y) = cos y 和 sin(−y) = −sin y，就得到差角公式，不必另外记。