反函数的导数与反三角函数

先不管公式,只看图。

把 f 的图像画出来,然后沿直线 y = x 折一下,得到的就是 f⁻¹ 的图像。这是反函数的全部内容:交换 x 与 y。

现在盯住图上的一小段。在 f 上,某点附近“横着走 1,竖着升 3”,斜率是 3。折过去之后,横和竖互换了角色:同一段变成“横着走 3,竖着升 1”,斜率是 1/3。

倒数关系就是这么来的。它不需要计算,它是“镜像”这个动作的直接后果。

但这里有个几乎所有人第一次都会踩的坑:倒数是在哪一点取的。

点也被折了。f 上的点 (a, b) 折成 f⁻¹ 上的点 (b, a)。所以“f⁻¹ 在 b 处的斜率”对应的是“f 在 a 处的斜率”。而这个 a 不是 b,是 f⁻¹(b)。

于是写成 (f⁻¹)′(x) = 1/f′(x) 就错了。右边的 f′ 必须在 f⁻¹(x) 那一点上取值。两个式子长得几乎一样,差别只在求导点,结果却常常天差地别。

镜像还顺手告诉了你什么时候这条路走不通。如果 f 在 a 处的切线是水平的,斜率为 0,折过去它就变成竖直的。竖直切线没有斜率,所以 f⁻¹ 在 b 处不可导。这就是定理里 f′(a) ≠ 0 这个条件的全部来历,它不是技术性的添头,是图上看得见的事。

最后是这件事真正好用的地方。

arcsin 是什么?它没有一个由加减乘除和开方拼出来的表达式。想直接对它求导,你根本没有可以下手的东西。

但你有 sin。sin 的导数你会。而 arcsin 只是 sin 在镜子另一边的样子。

于是问题被搬到了镜子那一边:不研究 arcsin 本身,而是研究 sin,再把答案翻回来。这就是对偶的用法——同一件事有两种互为镜像的说法,哪边容易算就站哪边。

定理。设 f 在包含 a 的某个开区间上可导且严格单调,f(a) = b,且 f′(a) ≠ 0。那么 f⁻¹ 在 b 处可导,并且

(f⁻¹)′(b) = 1 / f′(a),写成通用形式就是 (f⁻¹)′(x) = 1 / f′(f⁻¹(x))。

符号交代。f⁻¹ 是反函数记号,不是 1/f,两者毫无关系。x 是 f⁻¹ 的自变量,它住在 f 的值域里。f⁻¹(x) 是一个数,它住在 f 的定义域里,f′ 就在这个数上取值。

推导只有一行。反函数的定义给出恒等式 f(f⁻¹(x)) = x。两边对 x 求导,左边用链式法则:

f′(f⁻¹(x)) · (f⁻¹)′(x) = 1。

移项即得。整个推导就是隐函数求导的一次应用。

用到 sin 上。记 y = arcsin x,其中 x ∈ (−1, 1),按约定 y ∈ (−π/2, π/2)。由定义 sin y = x。两边求导得 cos y · y′ = 1,所以 y′ = 1/cos y。

现在要把 cos y 换成 x。由 sin²y + cos²y = 1 得 cos y = ±√(1 − x²)。符号靠值域定:y ∈ (−π/2, π/2) 上 cos y > 0,取正号。于是

(arcsin x)′ = 1/√(1 − x²)。

这就是为什么值域不能随便取。换一个分支,符号会翻,公式就错。

用到 tan 上。记 y = arctan x,y ∈ (−π/2, π/2),则 tan y = x。求导得 sec²y · y′ = 1。再用 1 + tan²y = sec²y,得 sec²y = 1 + x²。于是

(arctan x)′ = 1/(1 + x²)。

分母是 1 + x²,不是 (1 + x)²。它来自那个恒等式,不是来自把 1 + x 平方。