单位圆与正余弦曲线

先别管公式，想象一个半径为 1 的摩天轮，轮心在原点。你坐在轿厢里，从最右边的位置 (1,0) 出发，逆时针转。任何时刻，你的位置都由两个数确定：竖直方向上离轮心的高度，和水平方向上离轮心的偏移。约定：转过的角记作 x，此刻你的高度就叫 sin x，水平偏移就叫 cos x。

这一步看着朴素，但它一次性解决了三件事。

第一，角可以随便大。三角形里的角超过 90° 就画不出来了，摩天轮不在乎。你转 120°，那就是转到左上方，高度还在那儿，照样是个具体的数。转 390°？绕完一圈再多走 30°，位置和 30° 时一模一样。

第二，高度不可能超过 1。你人始终在轮子上，离轮心永远是 1 个单位。高度只是这 1 个单位在竖直方向上分到的那一部分，只有在最高点才用满，其余时候都不足。所以 sin x 永远夹在 −1 和 1 之间，角再大也一样。

第三，sin x 不随 x 变大而变大。转到正上方（90°）高度到顶，再往前转，你就开始下降了。角一直增加，高度却在涨—落—涨—落。这正是“周期”的来源。

现在把高度记录下来。横轴放转过的角 x，纵轴放你此刻的高度 sin x，一边转一边描点。出发时高度 0，转到 90° 升到最高的 1，转到 180° 回到 0，转到 270° 沉到最低的 −1，转满一圈又回到 0。把这些点连起来，就是那条起伏的正弦曲线。

最后留意曲线什么时候才真正开始重复。必须转满整整一圈，也就是 2π，你才回到原来的位置和高度。转半圈（π）时你在圆的另一侧，高度确实也是 0，但接下来你是往下走而不是往上走。图形并没有重复，所以周期是 2π 而不是 π。

把上面的话换成符号。单位圆指平面上满足 x² + y² = 1 的点集：圆心在原点 O，半径为 1。

给定一个实数 θ（弧度制），从点 (1,0) 出发，沿圆周逆时针扫过大小为 θ 的圆心角，落到点 P。θ 为负就顺时针扫。P 的坐标就定义为 P = (cos θ, sin θ)。横坐标是 cos θ，纵坐标是 sin θ。这里 θ 取遍全体实数，没有“不超过 90°”这条限制，这就是定义的搬家。

三条性质可以直接从“P 落在单位圆上”读出来。

其一，把 P 代回圆方程，得 cos²θ + sin²θ = 1。这是勾股定理换了身衣服。

其二，由上式得 sin²θ ≤ 1，于是 −1 ≤ sin θ ≤ 1，对任何实数 θ 都成立。

其三，扫过 θ + 2π 与扫过 θ 落在同一点，因此 sin(θ + 2π) = sin θ，cos(θ + 2π) = cos θ。2π 是让这组等式对所有 θ 都成立的最小正数，称为周期。

正弦曲线就是函数 y = sin θ 的图像：横轴放 θ，纵轴放 P 的纵坐标。θ 落在 [0, π/2] 的那一段，正是三角形里旧定义的延续，其余部分是新扩充出来的。