重要极限 sin x / x

把单位圆画出来:圆心 O,半径 1,正半轴上的单位点记作 B。从 OB 逆时针转出一个角 x,落点记作 A。这时有三个长度值得同时盯住。第一个是 A 到横轴的高,它就是 sin x。第二个是从 B 沿着圆弧走到 A 的弧长,在弧度制下它恰好等于 x —— 这正是弧度的定义。第三个是在 B 处竖一条切线,把 OA 延长过去截出的那一段,长度是 tan x。

现在让 x 慢慢变小。弧在缩短,高也在缩短,两个都奔向 0。但我们关心的不是它们各自去了哪,而是它们的比。看图能看出的事情是:弧越短,它弯得越不明显。一小段圆弧和一小段直线,肉眼已经分不出来。所以那段弧和那条高越来越像同一个东西,比值应该趋近 1。

顺带提醒一句:这只描述 x 往 0 走的过程。x=1 时 sin x 已经比 x 小了将近 16%,x=π 时 sin x 干脆等于 0,而 π 显然不是 0。趋近 1 的是比值在这个过程中的走向,不是某个具体 x 上的等式。

到这里为止,以上还只是一个看图得到的印象。印象不够。谁能保证比值不是趋向 0.999?图画得再准也答不了,因为那点差别早就细过笔画本身。

真正管用的办法是把 sin x 夹住。看三块图形:三角形 OAB、扇形 OAB、以及切线截出的直角三角形 OBT。第一块被第二块整个包住,第二块又被第三块整个包住。面积于是排成一串不等号:二分之一 sin x 小于二分之一 x,二分之一 x 又小于二分之一 tan x。

中间那项二分之一 x 是扇形面积。它能长成这样,唯一的原因是 x 用弧度写。整圆面积是 π,弧度制下整圆对应 2π,这块扇形占 x 比 2π,乘起来正好是 x 的一半。换成角度制,这里会冒出一个 π/180,后面的结论跟着全变,那个 1 会变成 π/180。所以弧度制下才成立不是一句吓唬人的注意事项,它就写在这块面积里。

夹住之后,剩下的是纯代数:两边一起除、一起取倒数,把 sin x 除以 x 逼进 cos x 和 1 之间。x 趋于 0 时 cos x 趋于 1,上下两条边合拢,中间那个量没有别处可去。

命题:x 趋于 0 时,sin x 除以 x 的极限等于 1,其中 x 取弧度。

先把符号交代清楚。这里的 x 有双重身份:它既是角的弧度数,又是一个普通实数,直接参与除法。这种双重身份只有弧度制给得起。函数 f(x) = sin x / x 的定义域是 x 不等于 0。它在 0 处根本没有值,极限描述的是 x 靠近 0 时 f 往哪走,和 f(0) 无关 —— 因为 f(0) 不存在。

证明分两半。先看 0 < x < π/2。由三块图形的包含关系得到 sin x < x < tan x。三项都是正数,同除以 sin x,得 1 < x/sin x < 1/cos x。三项仍为正,取倒数会把不等号整体翻向,于是 cos x < sin x / x < 1。

左边的 cos x 在 x 趋于 0 时趋于 1,右边的常数 1 不动。夹逼定理直接给出右极限等于 1。

再看 x < 0 的一侧。令 x = -u,其中 u > 0。此时 sin(-u)/(-u) = (-sin u)/(-u) = sin u / u。也就是说 f 是偶函数,左半边的图像是右半边的镜像。所以左极限也是 1。

两侧极限都等于 1,故极限存在,且等于 1。