综合作图
把定义域、对称性、渐近线、增减、凹凸、极值这几张表叠在一起，一条曲线的形状就被完全确定了——这是代数信息换成图像信息的总演练。
10 分钟思维方法: 换表示
同一个对象换一种写法，难题可能自动变简单
这一片为什么存在
你已经会求导、会算极限、会判凹凸了。可真要在白纸上画出 y=x³/(x²−1)，笔还是会停在半空：工具一件件都会用，就是不知道先用哪件、每件用完该往图上落下哪一笔。这一片补的正是这个顺序。
内容
先说为什么“多描几个点连起来”不管用。
拿 f(x)=x⁴−8x² 试试。在 x=−3、−2、2、3 处算出 9、−16、−16、9，四个点连成一只平底的碗。真相是碗底正中央还顶起一个局部最高点 (0,0)，它左右各有一个谷底。你可能会说：那我再取 x=0 不就看见了。问题恰好在这句话里——你是因为已经知道那儿有东西才去取的。采样告诉不了你该去哪里采样。
导数正是来回答这件事的。f′(x) 的符号不是某一个点的信息，它是对“这一整段区间里在上坡还是在下坡”的直接陈述，一句话管住无穷多个点。f″ 的符号同理，管的是“这一整段弯向哪边”。
于是作图变成一件很机械的事：把函数身上每一种代数信息，逐条翻译成一句关于形状的话。
- 定义域：纸上哪几条竖线是禁区。
- 奇偶性：能不能只画右半边，另一半靠翻折补出来。
- x→±∞ 的极限：远处曲线贴着哪条直线走。
- 某点处极限为 ±∞：那里立着一根垂直渐近线。
- f′ 的符号：上坡还是下坡。
- f″ 的符号：碗口朝上还是朝下。
每翻译一句，收获不是“图上多一个点”，而是“少掉一大类可能的形状”。约束叠够了，能同时满足全部约束的曲线只剩一条——这时候你不是在猜图，是在读图。
有三个地方特别容易翻错。
垂直渐近线不保证两侧都冲向 +∞：x=a 的左边可以奔 −∞、右边奔 +∞，所以两个单侧极限必须分开算。渐近线也不是禁飞区：斜渐近线只承诺“x 很大时曲线与它的差趋于 0”，中间穿过去几次都合法。拐点只是凹凸换向的位置，跟 x 轴没有任何关系，它可以在高空，也可以在地下。
设待画函数为 f，D 为它的定义域，即所有使表达式有意义的实数 x。以下七步，每步产出一条形状约束。
一、求 D，把不属于 D 的点和区间在 x 轴上挖掉。
二、判对称。若对一切 x∈D 有 f(−x)=f(x)，f 为偶函数，图像关于 y 轴镜像；若 f(−x)=−f(x)，f 为奇函数，图像关于原点中心对称。有对称就只画 x≥0 的一半。
三、求截距。f(0) 是与 y 轴交点的纵坐标；方程 f(x)=0 的解是与 x 轴交点的横坐标。
四、求渐近线。若 lim(x→a⁺)f(x) 或 lim(x→a⁻)f(x) 为 +∞ 或 −∞，则直线 x=a 是垂直渐近线，两个单侧极限要分别算。若 lim(x→+∞)f(x)=L 且 L 为有限数，则 y=L 是水平渐近线。若存在常数 m、b 使 x→±∞ 时 f(x)−(mx+b)→0，则 y=mx+b 是斜渐近线；有理函数用带余除法就能读出 m 与 b。
五、求一阶导 f′。f′(x)=0 的解与 f′ 不存在的 x 合称临界点；临界点和 D 的断点把 D 切成若干开区间，在每个区间上定 f′ 的符号：正则 f 递增，负则递减。符号在某临界点两侧改变，该点即极值。
六、求二阶导 f″。f″>0 记为凹向上，f″<0 记为凹向下；f″ 变号且该处属于 D，则该处是拐点。
七、把第三、四步的虚线与点先落到纸上，再用第五、六步的符号表把它们连成一条曲线。
跟着做一遍
画出 f(x)=x³/(x²−1) 的完整图像。别开计算器：每一步先写下结论，再往纸上落一笔，落完了再看下一步。
- 定义域与对称。x²−1=0 给出 x=±1，故 D=(−∞,−1)∪(−1,1)∪(1,+∞)。又 f(−x)=−x³/(x²−1)=−f(x)，是奇函数，所以先只处理 x≥0，剩下的绕原点转 180° 补出来。
- 截距。f(0)=0；解 x³=0 也只得 x=0。图像与坐标轴只交于原点。
- 垂直渐近线，左右分开算。x→1⁺ 时分子→1、分母→0⁺，故 f→+∞；x→1⁻ 时分母→0⁻，故 f→−∞。x=1 两侧一上一下。由奇性，x→−1⁻ 时 f→−∞，x→−1⁺ 时 f→+∞。
- 斜渐近线。带余除法给出 x³/(x²−1)=x+x/(x²−1)，而 x→±∞ 时 x/(x²−1)→0，故 y=x 是斜渐近线。再看 f(x)−x=x/(x²−1)，它在 x=0 处等于 0——曲线在原点穿过了自己的斜渐近线，这完全合法。
- 一阶导。f′(x)=(x⁴−3x²)/(x²−1)²=x²(x²−3)/(x²−1)²。分母恒正、x² 恒非负，所以 f′ 的符号跟着 x²−3 走：|x|>√3 时递增，|x|<√3 时递减。x=0 处 f′=0 但不变号，不是极值。极大点 (−√3,−3√3/2)，极小点 (√3,3√3/2)。
- 二阶导。f″(x)=2x(x²+3)/(x²−1)³。x²+3 恒正，符号由 x 与 (x²−1)³ 合起来定：x<−1 凹向下，−1<x<0 凹向上，0<x<1 凹向下，x>1 凹向上。变号处只有 x=0，故唯一拐点是 (0,0)。
- 组装。先画 x=−1、x=1、y=x 三条虚线，标上 (0,0) 与 (±√3,±3√3/2) 三个点，再按各区间的增减与凹凸把它们连起来，两端行为交给渐近线。
结果
三支曲线。x>1 上从 +∞ 降到极小 (√3,3√3/2)≈(1.73,2.60) 再回升，最后从上方贴住 y=x 走远；−1<x<1 上是一条从 +∞ 单调降到 −∞、并在原点换凹凸方向的中间支；x<−1 上是它绕原点的 180° 镜像，远处从下方贴住 y=x。两个反直觉的收获：极大值 −3√3/2 竟然比极小值 3√3/2 小，因为二者分处不同区间，本来就不必可比；曲线与斜渐近线真的相交了，交点就是原点。还有一点，这里拐点恰好落在原点纯属巧合——把整条曲线上移 2 个单位，拐点变成 (0,2)，凹凸结构一个字都不用改。