高阶导数与凹凸性

先把 f″ 放回它来的地方。你手上已经有一条规则：f′ > 0 时 f 在上升，f′ < 0 时 f 在下降。现在别把 f′ 当成 f 的附属品，把它当成一条独立的曲线，对它问同一个问题——它自己在升还是在降。回答这个问题的东西就是 (f′)′，我们把它写成 f″。所以 f″ 不是一件新工具，它是把旧工具在新对象上再用一次的结果。

f′ 描述的是斜率。f′ 在增加，意思是切线的斜率一路变大：先陡峭地朝下，慢慢变平，再慢慢朝上翘。把这些切线连起来看，曲线整个是向上兜着的，像一只碗，这就是上凹。反过来 f′ 递减，斜率一路变小，曲线像一顶扣着的帽子，这是上凸。碗能盛水，帽子盛不住——这个记号够用一辈子。

真正容易滑倒的地方在下面。增减和凹凸问的是两件事：增减问 f 的高度往哪边走，凹凸问 f 的斜率往哪边走。两件事可以任意搭配，四种组合在现实里都存在。存款利滚利，余额在涨，而且涨得越来越快，这是又增又上凹。正在刹车的车还在往前挪，位移在涨，但涨得越来越慢，这是增而上凸。所以“f″ > 0 说明函数在增加”是假的。f″ > 0 只保证斜率在变大，而斜率完全可以从 −5 变到 −1，那一路上 f 每一点都在下降。同理，上凸也不等于在下降：一条向上冲、只是冲势渐缓的曲线，正是上凸的。

凹凸改变的那一点叫拐点。曲线在那里从碗翻成帽子，或者从帽子翻成碗。拐点两侧 f″ 必须异号，而连续的 f″ 想变号，中途必须经过零。所以 f″ = 0 的点是拐点的候选名单，仅此而已。f(x) = x⁴ 在 x = 0 处 f″ = 12x² = 0，可 12x² 在 0 的两侧都是正的，符号压根没变，曲线从头到尾是一只碗。这和你早就见过的一件事完全同构：f′(c) = 0 不保证 c 是极值，x³ 在 0 处就是反例。零点只是“获准变号”，不是“已经变号”。

同样的动作可以一直做下去。f‴ 描述 f″ 怎么变，f⁽ⁿ⁾ 描述第 n−1 阶导数怎么变，只要每一步还可导。物理里 s′ 是速度，s″ 是加速度，s‴ 叫加加速度——电梯启动那一下顶住你后背的推力在变，你感觉到的就是它。

设 f 在开区间 I 上可导。f′ 于是也是 I 上的一个函数；若 f′ 在点 x 处可导，就把它的导数记作 f″(x)，即 f″ = (f′)′，也写成 d²f/dx²。递推地，f⁽ⁿ⁾ = (f⁽ⁿ⁻¹⁾)′，并约定 f⁽⁰⁾ = f。这里的 n 是求导的次数，不是次方。

凹凸性本身不需要导数就能定义。若对 I 上任意 x₁ < x₂ 和任意 t ∈ (0,1)，都有 f(t·x₁ + (1−t)·x₂) ≤ t·f(x₁) + (1−t)·f(x₂)，就说 f 在 I 上上凹。左边是曲线在两点之间某处的高度，右边是连接两端点的那条弦在同一处的高度：弦不低于曲线。把 ≤ 换成 ≥ 就是上凸。

判据把它接回导数。若 f″(x) > 0 对 I 上每个 x 成立，则 f′ 在 I 上严格递增，于是 f 在 I 上上凹；f″ < 0 时对称地得到上凸。这一步没有引入任何新原理：它就是把先修里“g′ > 0 ⟹ g 严格递增”用在 g = f′ 上。注意方向：f″ > 0 推出上凹，反过来不一定，x⁴ 在 0 处上凹而 f″(0) = 0。

拐点：设 f 在 c 处连续，若存在 δ > 0，使 f″ 在 (c−δ, c) 与 (c, c+δ) 上符号相反，则称 (c, f(c)) 为拐点。若此时 f″(c) 存在，则必有 f″(c) = 0；逆命题不成立。