导函数
把每一点的导数值收集起来，得到一个新函数 f′(x)。从 f 的图像可以直接画出 f′ 的图像：升的地方 f′ 为正，拐平的地方 f′ 过零。
11 分钟思维方法: 换表示
同一个对象换一种写法，难题可能自动变简单
这一片为什么存在
你已经会算 f′(a) 了：挑一个点，做一次极限，得到一个数。但如果有人问「f′ 长什么样」，你大概只能一个点一个点地算下去。这一片要把这件重复劳动一次性收掉——让 a 从「选定的点」变成「可以滑动的变量」，让一堆孤立的数变成一条曲线，从此看着 f 的图就能直接把 f′ 的图画出来。
内容
想象你沿着 f 的图像从左往右走，脚上绑了一个坡度记录仪。走到横坐标 x 时，它记下你此刻脚下的坡度。走完全程，你手里就有一整条读数记录：每个 x 对应一个坡度值。把这条记录画在正下方另一张坐标纸上，得到的就是 f′ 的图像。
整片只有一句核心话：f′ 的高度，记录的是 f 的陡峭程度，不是 f 的高度。剩下的全是它的推论。
推论一，符号看方向。上坡段坡度为正，f′ 的图像整段落在 x 轴上方；下坡段坡度为负，f′ 整段落在 x 轴下方。所以 f′ 的正负区间，就是 f 的升降区间。
推论二，零点看拐平。山顶和谷底是「刚停止上升、还没开始下降」的地方，那一瞬间坡度是 0，所以 f′ 的图像在这里穿过 x 轴。注意穿过 x 轴的是 f′，不是 f——f 自己在什么高度完全无关。f 可以在山顶处高高地悬在 y=100，f′ 照样在那里等于 0；f 也可以在某处正好等于 0，但那里是个大陡坡，f′ 在那里离 0 远得很。
推论三，最容易滑倒的一条：「f 在上升」和「f′ 在上升」是两件不同的事。前者说坡度是正的，后者说坡度这个数本身在变大。一段一路向上但越爬越平缓的山坡，f 在升，而 f′ 是正的、同时在往下掉——它正从很大的正数掉向 0。方向和陡峭程度的变化，是两层信息。
推论四，f′ 通常连长相都跟 f 不一样。它不是把 f 的图像上下挪一挪得到的——平移只改变高度，不改变任何一点的坡度，所以 f 平移后 f′ 一动不动。真实情况是 f′ 往往「降一档」：抛物线的导函数是直线，三次曲线的导函数是抛物线。
最后，记录仪也可能罢工。在尖角处，左边和右边的坡度对不上；在断点处根本无坡可测。这些 x 会被踢出 f′ 的定义域——所以 f′ 的定义域一般不比 f 大，有时严格更小。
把「选定的点 a」换成「可以滑动的变量 x」，定义就从一个数变成一台机器：
f′(x) = lim(h→0) [f(x+h) − f(x)] / h。
符号逐个交代：x 是这台机器的输入，在整个极限过程中它按住不动，扮演常数的角色；真正趋于 0 的是 h，它是横向的增量；分子 f(x+h) − f(x) 是纵向的增量；整个商是过 (x, f(x)) 与 (x+h, f(x+h)) 两点的割线斜率；这个极限存在时，它的值就是 f 在 x 处的切线斜率。
定义域必须显式写出：D(f′) = { x ∈ D(f) : 上面的极限存在 }。它是 D(f) 的子集，可能是真子集。
于是 f′(a) 的地位变了：它不再是一次独立的计算，而是先有函数 f′，再把 a 代进去取值。f′ 是函数（一条曲线），f′(a) 是它在 a 处的值（一个数）。写成 dy/dx 时同理：dy/dx 是函数，dy/dx 在 x=a 的值才是数。
跟着做一遍
取 f(x) = x³ − 3x，只看区间 [−2, 2]。先不许求导：只凭图像画出 f′ 的图像，标出它的正负区间和零点。画完再用定义验算，看你画对了没有。
- 列五个点画出 f：x = −2, −1, 0, 1, 2 时 f = −2, 2, 0, −2, 2。连成一条「升—降—升」的曲线，山顶在 x=−1，谷底在 x=1。
- 只标方向：x 从 −2 到 −1 时 f 在升，这一段 f′ > 0；从 −1 到 1 时 f 在降，这一段 f′ < 0；从 1 到 2 时又在升，f′ > 0。
- 标零点：山顶 x=−1 与谷底 x=1 处切线水平，所以 f′(−1) = f′(1) = 0。这就是你要画的那条曲线与 x 轴的两个交点。
- 估五个高度：x=−2 处非常陡（f′ 很大的正数），x=−1 处为 0，x=0 处是下降最猛的地方（f′ 取到最负），x=1 处为 0，x=2 处又很陡。把这五个点连起来——你得到一条开口向上的抛物线。
- 用定义验算：[f(x+h) − f(x)]/h 展开约去 h 后是 3x² + 3xh + h² − 3，令 h→0 得 f′(x) = 3x² − 3。这是一台机器，不是一个数。
- 对照零点：解 3x² − 3 = 0 得 x = ±1，与第 3 步纯看图得到的完全一致。再看形状：f′ 是抛物线，f 是三次曲线，两条曲线根本不是同一个形状上下挪动的结果。
- 追问 x = 0：f(0) = 0，但 f′(0) = −3。f 等于零的地方，f′ 一点也不用等于零——那里恰好是全区间下降最快的位置。
- 追问 [−2, −1]：f 一路在升，而 f′ 从 f′(−2) = 9 一路掉到 f′(−1) = 0。f 在升的同时 f′ 在降——升的是高度，降的是坡度。
结果
f′(x) = 3x² − 3：一条开口向上、顶点在 (0, −3)、零点在 x = ±1 的抛物线。它与你纯凭图像画出的那条完全吻合。四件事同时被这一个例子钉死：f′ 是函数而 f′(1) = 0 只是它的一个取值；f 在 [−2, −1] 上升而 f′ 在同一段下降；f(0) = 0 而 f′(0) = −3；f′ 是抛物线、f 是三次曲线，不可能由平移得到。