原函数与不定积分

求导可以看成一台机器:送进去一个函数 F,吐出来 F'。这一片要问的是反方向:给定 f,谁进去以后会变成它?

先做一次小实验。x² 的导数是 2x。那 x²+7 呢?导数还是 2x。x²−100 也是 2x。常数项在求导时被抹掉了,机器根本不记得它曾经在那里。

这就是全部麻烦的来源:求导会丢信息,而且丢掉的恰好是“整体高度”。图像上说,把一条曲线整体上抬三个单位,每一点的切线斜率一点没变。斜率只关心形状,不关心这条曲线被放在多高的位置。

换个更实在的场景。你手上有一份账户的每日收支流水,想知道今天的余额。流水告诉你的是余额的变化率。你能算出余额涨了多少、跌了多少,却算不出余额本身——除非有人告诉你月初有多少钱。少掉的那一块,就是常数。

到这里为止的直觉是:反着走能走通,但会差一个常数。可是“差一个常数”是一句需要被证明的话,不是一句安慰。你凭什么断定,满足 F'=2x 的函数里,没有一个长得完全不像 x² 的怪东西?

把两个候选放在一起看。设 F 和 G 的导数都是 f,考察它们的差 H = F − G。求导是线性的,所以 H' = f − f = 0。问题于是变成:导数处处为零的函数,能有多野?

图像上答案很清楚。H 在每一点的切线都是水平的,它既不被允许上升,也不被允许下降。一条哪儿都不许爬、哪儿都不许掉的曲线,只能是一条水平直线。“处处水平”是从头贯穿到尾的性质,正是它把 H 锁死成常数。

所以结论不是“大概差一个常数”,而是“恰好差一个常数,一个不多一个不少”。这两句话的分量完全不同。后者才让你敢说:写出一个原函数,再加上 C,就已经把所有答案一网打尽了。

这也解释了 +C 为什么不是老师发明的仪式。不定积分的结果本来就不是一个函数,而是一族函数——图像上是一叠形状全等、只在竖直方向彼此错开的曲线。丢掉 C,你交出的不是“稍微不完整的答案”,而是从一整族里随手挑了一条,却假装它是全部。

最后提醒一件事,免得“反着走”的直觉被用过头。求导对加法和数乘是逐项进行的,所以反过来也可以逐项进行。但求导对乘法不是逐项的:(fg)' 并不等于 f'·g'。正方向压根没有这条规则,反方向自然也不会凭空长出来。∫f·g dx 不等于 ∫f dx · ∫g dx,这不是一条容易记错的例外,而是一条从来不存在的法则。

先把符号逐个交代清楚。

定义。设 f 在区间 I 上有定义。若 F 在 I 上处处可导,且对每个 x∈I 都有 F'(x)=f(x),就称 F 是 f 在 I 上的一个原函数。

结构定理。若 F 与 G 都是 f 在区间 I 上的原函数,则存在常数 C,使 G(x)=F(x)+C 对所有 x∈I 成立。

证明只有两行。令 H=F−G,则在 I 上处处有 H'=f−f=0。对 I 中任意两点 a<b,拉格朗日中值定理给出 H(b)−H(a)=H'(ξ)(b−a)=0,即 H(b)=H(a)。任意两点取值都相同,H 便是常数。

记号。∫f(x)dx 表示 f 的全体原函数,读作 f 的不定积分。其中 f 叫被积函数,x 是积分变量,dx 标明是对谁求导才能得回 f。标准写法是 ∫f(x)dx = F(x)+C,这里 F 是任意一个原函数,C 取遍全体实数,称为积分常数。等号右边是一族函数,不是一个。

两条直接从求导法则翻过来的规则(k 为常数):
∫[f(x)+g(x)]dx = ∫f(x)dx + ∫g(x)dx;
∫k·f(x)dx = k∫f(x)dx。

幂函数公式:当 n ≠ −1 时,∫xⁿdx = xⁿ⁺¹/(n+1) + C。验证只需把右边求导。n = −1 被排除的理由就明写在公式里:分母 n+1 会变成 0。这一格另有答案,∫x⁻¹dx = ln|x| + C,它不由上面的公式产生。

还有一个不能省的前提:定理里的“区间”是实打实的条件。若定义域由两段分开的区间拼成,H'=0 只保证在每一段上各是常数,两段的常数可以不同。ln|x| 正是这种情形,它的定义域被 0 切成了两半。