换元积分法
链式法则倒过来用：认出『内层函数 + 它的导数』这个组合，令 u = 内层，积分就退回到课本上的基本形式。定积分换元时上下限必须一起换。
7 分钟思维方法: 化归
把没见过的问题变形成见过的问题
这一片为什么存在
你会求导，也背得下基本积分表。可 ∫2x·cos(x²)dx 在表里查不到——它既不是 cos 的样子，也不是幂函数的样子。这一片要装上的不是新公式，而是一个动作：把查不到的积分，改写成表里查得到的那一行。
内容
先别看积分，看求导。对 cos(x²) 求导，你写下 −sin(x²)·2x。注意那个 2x：它不是凭空出现的，是链式法则从内层 x² 里拿出来的。
所以每一个「内层函数 × 它的导数」的乘积，都是一次链式法则留下的指纹。反过来读：如果被积函数里同时躺着某一团东西和它的导数，这个积分大概率是某次求导的结果，你要做的只是把那次求导倒放。
倒放的具体操作是改名。把内层那一团起个新名字 u。原来的 2x·cos(x²) 里，cos(x²) 变成 cos u；剩下的 2x 呢？它和 dx 连在一起，正好就是 u 的微分 du。于是整个式子变成 ∫cos u du——这一行在表里。
关键是改名必须彻底。dx 也是用 x 的语言写的，它不能原地留下。常见的翻车方式是：函数部分换了，dx 却照抄，写出 ∫cos u dx。这个式子里 u 和 x 混住了，没有任何规则能算它。自查方法很硬：换完之后如果还看得见一个 x，改名就没做完。
彻底性还有第二个后果。定积分的上下限写的是 x 的取值，不是 u 的取值。x 从 1 走到 2，u = x² 就从 1 走到 4。你既然把积分改写成了 u 的语言，上下限也必须跟着翻译，否则你是在用 x 的边界去量 u 走过的路。
最后要接受的一件事：这个动作有失败条件。∫cos(x²)dx 和刚才那个几乎一模一样，却做不了——身边没有那个 2x。常数可以自己造，缺一个 2 就提一个 1/2 出来配平；但变量造不出来，你不能凭空塞一个 x 再假装抵消掉。u 凑得出还是凑不出，唯一的判据就是换完之后 x 是否一个都不剩。凑不出来是常态，不是你不够聪明——课本上那些漂亮的题，是被挑出来的。
设 f 连续，F 是 f 的一个原函数，即 F′ = f。再设 g 可导。
对复合函数 F(g(x)) 用链式法则：d/dx F(g(x)) = f(g(x))·g′(x)。
两边同时取原函数，就得到不定积分形式的换元法：
∫f(g(x))·g′(x) dx = F(g(x)) + C。
符号逐个交代：g 是内层函数，g′ 是它的导数，f 是套在外面的那一层，F 是 f 在积分表里的原函数。
令 u = g(x)，则 du = g′(x) dx。这一行是把 dx 合法换成 du 的依据，不是记号上的巧合。
代进去，左边就变成 ∫f(u) du = F(u) + C，算完再把 u = g(x) 写回去。
C 是任意常数，它既不含 x 也不含 u，代回时原样不动。
定积分形式要求上下限同步换。设 g′ 在 [a,b] 上连续，f 在 g 的值域上连续，则
∫[a,b] f(g(x))·g′(x) dx = ∫[g(a),g(b)] f(u) du。
新下限是 g(a)，新上限是 g(b)：把旧端点喂给 u 的表达式即得。
换限之后不必也不该再代回 x。右边已经是一个纯 u 的定积分，直接算出来就是那个数。
跟着做一遍
算 ∫[1,2] x·e^(x²) dx。别急着翻公式——先问一句：被积函数里有没有哪一团东西，它的导数也躺在旁边？
- 认结构：指数上的 x² 是被套住的内层，令 u = x²。外面套着的是 e 的那一层。
- 求微分：u′ = 2x，所以 du = 2x dx。
- 配常数：手上只有 x dx，差一个 2。把它写成 x dx = (1/2)·2x dx = (1/2) du。常数能这样搬，变量不能。
- 换限：把旧端点喂给 u = x²。x=1 给出 u=1，x=2 给出 u=4。新积分从 1 走到 4，不再是 1 到 2。
- 整体改写：原式 = (1/2)∫[1,4] e^u du。自查一遍：式子里一个 x 都不剩，dx 也已经换成 du。
- 查表：e^u 的原函数就是 e^u，于是得到 (1/2)[e^u] 从 1 到 4。
- 代端点：(1/2)(e⁴ − e¹) = (e⁴ − e)/2。定积分是一个数，不写 +C，也不用代回 x。
- 反向验算：对 (1/2)e^(x²) 求导，链式法则给出 (1/2)e^(x²)·2x = x·e^(x²)，和被积函数一致，换元没错。
结果
(e⁴ − e)/2 ≈ 25.94。顺带一提：同一个换元做成不定积分，答案是 (1/2)e^(x²) + C。