链式法则

先把导数想成一个放大倍数。

在 x 附近，函数 g 把一段极短的输入变化 Δx，放大成输出变化 Δu。放大多少倍？就是 g′(x)。这是导数最朴素的读法：局部的伸缩率。

现在把两台机器串起来。第一台是内层 u = g(x)，第二台是外层 y = f(u)。x 先进第一台，出来变成 u；u 再进第二台，出来变成 y。

Δx 进去，被第一台放大 g′ 倍，变成 Δu。Δu 进去，被第二台放大 f′ 倍，变成 Δy。

那么从 Δx 到 Δy，总共放大了多少倍？两次放大是接连发生的，所以倍数相乘：Δy/Δx = (Δy/Δu)·(Δu/Δx)。

这就是链式法则的全部内容。齿轮组是个好画面：小齿轮转一圈带动中齿轮转 3 圈，中齿轮转一圈带动大齿轮转 5 圈，于是小齿轮转一圈，大齿轮转 15 圈。传动比是乘的，不是加的。

这里有一个特别容易滑过去的细节。第二台机器的放大倍数，必须在它自己的输入位置上量。它的输入是 u，不是 x。所以写的是 f′(u)，也就是 f′(g(x))，而不是 f′(x)。

拿 sin 2x 举例。内层先把 x 送到 2x 这个位置。外层 sin 的伸缩率是 cos，那要在哪儿量这个 cos？在 2x 处，不在 x 处。所以答案是 cos(2x)·2，既不是 cos x·2，也不是光秃秃的 cos 2x。

漏掉那个因子 2，是这条规则最常见的失手。它的含义其实很具体：你只算了外层的传动比，忘了内层已经先把变化放大了一倍。

还有一句要提醒。dy/du · du/dx 里的 du 上下消掉，看起来像分数约分，算出来也确实对。但那不是约分。dy/du 是一个整体记号，是极限的结果，不是两个数相除。它凑巧长得像分数，是因为它确实来自 Δy/Δu 这个真分数取极限——莱布尼茨当年就是照着这个设计记号的。把它当分数用能帮你记住，但别把它当成证明。

最后一件事：这条规则不止管两层。三层复合就是三段传动，要乘三次；n 层就乘 n 次。像剥洋葱，从最外面一层一层往里剥，每剥一层乘一个因子，一直剥到最里面那个单纯的 x 为止。

设 g 在 x 处可导，f 在 u = g(x) 处可导。那么复合函数 F(x) = f(g(x)) 在 x 处可导，且

F′(x) = f′(g(x)) · g′(x)。

逐个交代符号。

g 是内层函数，先作用；f 是外层函数，后作用。u = g(x) 是中间变量，它既是 g 的输出，也是 f 的输入。

f′(g(x)) 读作：f 的导函数，在 g(x) 这个点取值。注意括号里装的是 g(x)，不是 x。求导和取值是先后两步：先对 f 求导得到 f′ 这个新函数，再把 g(x) 代进去。顺序反了就成了别的东西。

g′(x) 是内层的导数，在 x 处取值。因为 g 的输入本来就是 x。

莱布尼茨记法写成

dy/dx = (dy/du)·(du/dx)，

其中 y = f(u)，u = g(x)。dy/du 要读成 y 对 u 的导数，是一个不可拆开的整体记号，不是 dy 除以 du。

多层复合按同样的方式往下接。若 y = f(g(h(x)))，则

dy/dx = f′(g(h(x))) · g′(h(x)) · h′(x)。

层数是几，因子就有几个。每个因子都在它自己那一层的输入位置取值。