对数函数的导数

先不动笔，只看图。exp 和 ln 是同一条曲线的两种读法：把 y = e^x 的图沿直线 y = x 翻过去，得到的就是 y = ln x。翻折这个动作，本质是把「横着走多少」和「竖着走多少」这两个角色互换了。而斜率是竖÷横，角色一换，斜率就变成它的倒数。

所以 ln 的斜率不必单独算，它已经被 exp 的斜率决定了。exp 在点 (a, e^a) 处斜率是 e^a。翻折把这个点送到 (e^a, a)，斜率随之变成 1/e^a。现在给这个新点的横坐标起名 x，也就是 x = e^a，那么 ln 在 x 处的斜率就是 1/x。1/x 不是从天上掉下来的，它就是 e^a 的倒数换了个写法。

这个说法还能反过来当直觉检验用。exp 涨得极快，翻过来 ln 就长得极慢：x 很大时 1/x 很小，图几乎躺平。反过来，exp 在很负的地方几乎贴着 x 轴、斜率极小，翻过来就是 ln 在靠近 0 处几乎立起来：x → 0⁺ 时 1/x → +∞。这两句话不用背，看一眼图就能现场重建。

还有一件事图会直接告诉你：y = ln x 整条曲线都在 y 轴右边。所以 (ln x)′ = 1/x 天生只对 x > 0 说话。麻烦在于 1/x 在 x < 0 处照样有值，这很容易让人以为等式在负半轴也成立——可那边根本没有 ln x 可导。要覆盖负半轴，得先把函数改写成 ln|x|，这是形式化里要单独补的一笔。

最后留一个信号。斜率是 1/x 意味着：从 x 走到 2x，斜率就减半；但 ln 在这段上累积的增量始终是同一个 ln 2，不管 x 多大。一个处处在变小的斜率，却均匀地累积增量——这份矛盾感，正是 ∫dx/x 的答案是对数而不是某个幂函数的原因。

现在把图上的话写成两行计算。取 x > 0，从恒等式 e^(ln x) = x 出发。这里 ln 指以 e 为底的自然对数；这条恒等式就是「ln 是 exp 的反函数」的符号写法。

两边对 x 求导。左边是复合函数：外层 u ↦ e^u，内层 u = ln x。链式法则给出

e^(ln x) · (ln x)′ = 1。

其中 e^(ln x) 是外层导数在 u = ln x 处的取值，(ln x)′ 是内层导数，右边的 1 是 x 对 x 的导数。再把 e^(ln x) = x 代回，得 x·(ln x)′ = 1，于是

(ln x)′ = 1/x，其中 x > 0。

这里默默用了一条前提：ln 在 x > 0 上可导。它由 exp 严格单调、可导且导数 e^a ≠ 0，配合反函数可导性定理保证。

两处补丁。其一，换底：log_a x = ln x / ln a，右边只是 ln x 乘上常数 1/ln a，所以 (log_a x)′ = 1/(x ln a)。特别地 (log₁₀ x)′ = 1/(x ln 10)，不是 1/x；只有 a = e 时那个常数才恰好等于 1。

其二，负半轴：设 x < 0，则 ln|x| = ln(−x)，链式法则给出 (1/(−x))·(−1) = 1/x。与右半轴合起来，(ln|x|)′ = 1/x 对一切 x ≠ 0 成立。这也是积分表里写 ∫dx/x = ln|x| + C 的原因。