对数
log_a b 就是在问『a 的几次方等于 b』。换上这层表示之后，乘法变加法、幂变乘法，很多难算的东西一下子变简单。
9 分钟思维方法: 换表示
同一个对象换一种写法，难题可能自动变简单
这一片为什么存在
你会算 2^10 = 1024。但反过来问『2 的几次方等于 1024』，手上就没工具了——指数藏在右上角，加减乘除够不着它。这一片给你一把把指数拽下来的钳子；拽下来之后，很多原本要硬算的东西会自己塌成一行加法。
内容
先别管符号。写下 2 的幂：2, 4, 8, 16, 32, 64, 128, 256, 512, 1024。你平时是从左往右读它——给指数，得数。对数只是反过来读同一张表：给数，问指数。1024 对应 10，那么 log_2 1024 = 10。就这么多。log_a b 不是一个新运算，它是这张老表的另一种读法。
真正值钱的是换了读法之后发生的事。看表里的 8 和 32：8 = 2^3，32 = 2^5，它们的积 256 = 2^8，而 3 + 5 = 8。在指数位置上，乘法自动变成了加法。这不是巧合，是 a^m · a^n = a^(m+n) 的镜像。四百年前航海天文表的计算量就是被这一条压下去的：把两个大数换成它们的对数，加起来，再换回去。滑尺、分贝、pH、里氏震级，用的都是这一手。
也正因为对数读的是『指数位置』，它只认得乘法。log(a·b) 有公式，log(a+b) 没有——加法在指数世界里没有对应物，硬套一定算错。同理 log a / log b 是两个读数的比值，它恰好等于 log_b a（换底公式），跟 a − b 毫无关系。
还有一件事表已经告诉你了：2 的幂永远是正数。往左走，2^0 = 1、2^(−1) = 0.5、2^(−10) = 1/1024，越来越小但永远到不了 0。所以 0 和负数根本不在这张表里；log 0 不是等于某个古怪的值，是压根不存在。
至于 ln 和 lg，它们不是两种运算，只是这张表的底换成了 e 和 10。规则一模一样，换底公式负责把它们互相翻译。
定义：设 a > 0 且 a ≠ 1，b > 0。log_a b = c 的意思就是 a^c = b。这里 a 是底（用谁的幂表），b 是真数（表里那个数），c 是读出来的指数。b ≤ 0 时无定义，因为 a^c 恒为正。
三条运算律，都是指数律的镜像：
1. log_a(xy) = log_a x + log_a y —— 乘变加
2. log_a(x/y) = log_a x − log_a y —— 除变减
3. log_a(x^k) = k · log_a x —— 幂变乘
换底公式：log_a b = log_c b / log_c a，其中 c 是任意合法的新底。取 c = e 就得到 log_a b = ln b / ln a。
记号：ln = log_e，lg = log_10。只是 a 取了不同值，运算律完全共用。注意律 2 左边是 log_a(x/y)，商在 log 里面；log_a x / log_a y 是另一个东西，按换底公式它等于 log_y x。
跟着做一遍
解 4^x = 32。不许用计算器，也不要试数。
- 两边都是 2 的幂，先换成同一个底：4 = 2^2，32 = 2^5。
- 左边变形：4^x = (2^2)^x = 2^(2x)。
- 方程现在写成 2^(2x) = 2^5，两边已经是同一种表示。
- 2^t 严格单调，同底同值必然同指数，于是 2x = 5。
- x = 5/2。
- 用对数语言复述同一件事：x = log_4 32 = ln 32 / ln 4 = (5·ln 2)/(2·ln 2) = 5/2。
- 验算：4^(5/2) = (4^(1/2))^5 = 2^5 = 32。✓
结果
x = 5/2 = 2.5。真正做事的不是解方程的技巧，而是把 4 和 32 都改写成 2 的幂——换到同一种表示上，方程自己就散了。