反常积分

先把「无穷」这个词放一边。∫₁^∞ f(x)dx 这个写法里,没有任何一步是真在无穷远处做加法。实际做的只有两件事。

第一件:随便挑一个有限的右端点 b,老老实实算 ∫₁^b f(x)dx。这一步你已经会了,原函数一代就出来,结果是一个关于 b 的函数。第二件:让 b 一直往右跑,盯住这个数往哪儿去。所以反常积分不是一种新的积分,而是一串普通积分的极限。收敛发散讨论的从来不是那个符号,而是这串数字的走向。

最容易踩的坑,是把「函数趋于 0」当成收敛的理由。趋于 0 只保证尾巴越来越矮,不保证矮得够快。1/x 和 1/x² 在无穷远处都压到了 0。但 ∫₁^b dx/x = ln b,b 一大就无界;∫₁^b dx/x² = 1 − 1/b,稳稳停在 1。同一个「趋于 0」,一个发散一个收敛,差别全在衰减速度。反过来也一样:无穷长的区间不等于无穷大的面积,尾巴够薄就收得住。

另一头的坏点是竖直渐近线。∫₀^1 dx/√x 的被积函数在 0 附近冲向无穷高,图形没有上界。可把左端点挪到 t>0,面积是 2 − 2√t,t→0⁺ 时趋于 2。图形无界、面积有限,这两件事不矛盾:高的那一截同时窄得离谱。

瑕点最狠的一刀,是骗你以为不用管它。∫₋₁^1 dx/x² 若直接把 −1/x 代上下限,得到 −1 − 1 = −2。被积函数处处为正,面积却算成负数,这就是没在 x=0 处切开的代价。牛顿-莱布尼茨公式要求原函数在整个闭区间上连续,而 −1/x 在 0 处断掉了。遇到瑕点必须先切开,两边各取极限,任一边发散就整体发散。

最后记住一件反直觉的事。∫₁^∞ dx/x 的面积是无穷,但把这条曲线绕 x 轴转一圈,体积是 π∫₁^∞ dx/x²,等于 π。面积和体积吃的不是同一个衰减指数,一个的结论不能搬给另一个。

设 f 在 [a,+∞) 上连续。对每个 b>a,∫_a^b f(x)dx 都是普通定积分,把它记作 F(b)。定义
∫_a^{+∞} f(x)dx = lim_{b→+∞} F(b)。
这里 b 不是「一个很大的数」,而是一个自由移动、趋于无穷的有限右端点。若该极限存在且为有限实数,称积分收敛,其值就是这个极限。否则称发散:趋于 +∞、−∞,或来回振荡不定,都算发散。

左端无穷的 ∫_{−∞}^a f(x)dx 同理,让左端点 t→−∞ 即可。

两端都无穷时必须拆开。任取一点 c,规定
∫_{−∞}^{+∞} f = ∫_{−∞}^c f + ∫_c^{+∞} f,
两块都收敛才叫收敛。任一块发散则整体发散,不许改用两边同时张开的 ∫_{−R}^R 去补救。

第二类是瑕积分。设 f 在 [a,b) 上连续,且 lim_{x→b⁻}|f(x)| = +∞,则称 b 为瑕点。定义
∫_a^b f(x)dx = lim_{t→b⁻} ∫_a^t f(x)dx,
其中 t<b。在 [a,t] 上 f 连续有界,所以括号里那个积分是完全正常的定积分。瑕点在左端点 a 时,改让 t→a⁺。

瑕点落在内部某个 c∈(a,b) 时,拆成 ∫_a^c 与 ∫_c^b 两个瑕积分,各自取极限,两个都收敛才收敛。这一条绕不过去:原函数在 c 处不连续,牛顿-莱布尼茨公式的前提当场失效。