概率密度就是面积

先别急着看定义，想一件更土的事：抓一千粒米，按长度分箱，画个直方图。

柱子的高度是「这一箱里有几粒」。但这个高度会随分箱方式乱跳：箱子分得越细，每箱落进的米越少，柱子越矮，整张图越扁。想让图形稳定下来，标准做法是把纵轴换成「频数除以箱宽」。换完之后，代表「这一箱占多少比例」的量不再是高度，而是每根柱子的面积。所有柱子的面积加起来正好是 1。

现在把箱宽一路压向 0。柱顶连成一条曲线，这就是密度函数。它的纵轴单位不是「概率」，而是「每单位长度的概率」——和质量密度是「每单位体积的质量」完全平行。概率藏在面积里，不在高度里。

这一换轴的收益是立刻的：你手上关于定积分的全部技能，一夜之间变成了概率工具。求「等待时间超过 5 分钟」的概率，不用再想什么等可能情形，就是把密度从 5 积到无穷。归一化条件「总面积等于 1」也不再是一句口号，它是一个能定出未知常数的方程：把待定系数写进密度里，逼积分等于 1，常数自己就掉出来了。

换轴还带来三个反直觉的后果，其实它们是同一件事的三种说法。

第一，密度的值可以任意大。如果一千粒米的长度全挤在 5.00 到 5.01 毫米之间，那么「占比 1」必须塞进宽 0.01 的区间里，曲线高度得上到 100 的量级。密度大于 1 一点问题都没有，它是个比率，量纲是「每毫米」，不是概率本身。

第二，任何一个单独长度的概率都是 0。一个点的宽度是 0，面积就是 0，不管那里的曲线多高。这不是说「不可能」——每粒米确实有某个精确长度。它说的是：在连续模型里，「恰好等于某个值」这种事件承载不了正概率，能承载的是区间。

第三，密度高的地方并不是「更容易被恰好取到」。它的意思是：在它附近取一个宽为 h 的小窗口，落进这个窗口的概率比别处同宽的窗口大。密度是准备拿去乘宽度的量，孤零零一个点上的密度值不回答任何概率问题。

最后解绑一个包袱：这条曲线不必光滑，也不必处处连续。[0,1] 上均匀分布的密度在 0 和 1 处直接从 1 跌到 0，它照样是合法密度——只要非负、总面积是 1、每段面积算得出来。

设 X 是取实数值的随机变量。若存在函数 f，使得对任意 a ≤ b 都有

P(a ≤ X ≤ b) = ∫ 从 a 到 b 的 f(x) dx，

就称 X 是连续型随机变量，f 是它的概率密度函数。这里 X 是随机变量本身，x 是积分里跑遍实轴的哑变量，f(x) 是密度在该点的值。

f 必须满足两条：
(1) 对所有 x 有 f(x) ≥ 0；
(2) ∫ 从 −∞ 到 +∞ 的 f(x) dx = 1。

第二条是一个反常积分，收敛本身就是要求的一部分——先修里的反常积分在这里正式上岗。指数分布 f(x) = λe^(−λx)（x ≥ 0，λ > 0）就靠它站住：∫ 从 0 到 ∞ 的 λe^(−λx) dx = 1。

由定积分的性质立刻能读出几件事。上下限相等时积分为 0，所以对任何 a 都有 P(X = a) = 0。于是端点开闭无所谓：P(a < X < b) = P(a ≤ X ≤ b)。区间不重叠时面积可加，概率也就可加。

累积分布函数定义为 F(t) = P(X ≤ t) = ∫ 从 −∞ 到 t 的 f(x) dx。在 f 连续的点上 F′(t) = f(t)。这就是「密度是概率的导数，概率是密度的积分」这句话的准确含义。