通项判别法与调和级数
通项不趋于 0，级数必发散；但趋于 0 不能推出收敛——调和级数 Σ1/n 就是那个著名反例，靠分组放缩凑出无穷多个 1/2。
9 分钟思维方法: 估算与放缩
不求精确值，先卡出它落在哪两个数之间
这一片为什么存在
你已经知道级数的和就是部分和的极限。接下来你最想要的，是一个不必真的算出和、就能判断收敛与否的快捷方法。通项判别法是最便宜的那一个，但它只能朝一个方向用。这一片要做的，是把这个方向钉死，并交给你一个反例，让你以后再也不会把箭头掉过来用。
内容
先想一件很朴素的事。假设你往一个账户里不停存钱，每次存 a_n 元，存无穷多次。如果总额最后稳定在某个数 S 上，那么后面每一笔存款必须越来越接近 0。理由几乎是同义反复：第 N 笔就是“前 N 笔的总和”减去“前 N−1 笔的总和”，而这两个总和都在向同一个 S 靠拢，差自然趋于 0。
所以规则的一半立刻就有了：只要通项不趋于 0，级数一定不收敛。这一半很好用，因为它便宜——你只需要算一个数列的极限，完全不用碰部分和。看到 Σ n/(2n+1)，通项趋于 1/2，不用再想，发散。
麻烦的是另一半。很多人把这条规则读成“通项趋于 0 就收敛”，那是把箭头反过来用了。通项趋于 0 只说明每一步迈得越来越小，它没说走过的总路程是有限的。步子变小和总路程有限，是两件不同的事。步子如果小得不够快，你仍然能走出无穷远。
调和级数 1 + 1/2 + 1/3 + 1/4 + … 就是把这条反向路彻底堵死的例子。它的通项 1/n 老老实实趋于 0，可它的和是无穷大。
怎么看出来？关键动作不是去求和，而是放缩：把项按 2 的幂分组，再把每组里的项统统换成组内最小的那一个。1/3 + 1/4 ≥ 1/4 + 1/4 = 1/2。1/5 到 1/8 这四项，每个都 ≥ 1/8，合起来 ≥ 1/2。1/9 到 1/16 这八项，每个都 ≥ 1/16，合起来又是 1/2。
规律出现了：每往后翻一倍长度，就至少再攒出一个 1/2。分组可以无限做下去，于是你手里有无穷多个 1/2，总和只能是无穷大。项确实在变小，但每一组的项数在同步变多，两边正好抵消。
还有一个容易混的点顺带说清。发散不等于“和跑向无穷”。级数 1 − 1 + 1 − 1 + … 的部分和在 1 和 0 之间来回跳，永远不收敛，却也没跑到无穷去。发散的准确含义只有一个：部分和数列没有极限。
记 a_n 为级数的第 n 项，S_N = a_1 + a_2 + … + a_N 为前 N 项部分和。“级数 Σa_n 收敛到 S”的意思就是数列 S_N 收敛到 S。
定理（通项判别法）：若 Σa_n 收敛，则 lim_{n→∞} a_n = 0。
证明：设 S_N → S。当 N ≥ 2 时有 a_N = S_N − S_{N−1}。右边两项都趋于 S，故 a_N → S − S = 0。
实际使用的是它的逆否命题：若 a_n 不趋于 0（包括极限不存在），则 Σa_n 发散。它的逆命题不成立，下面的调和级数就是反例。
记 H_N = 1 + 1/2 + … + 1/N。对每个整数 k ≥ 0，看第 k 组，即下标从 2^k + 1 到 2^{k+1} 的那些项。这一组共有 2^k 项，每项都不小于 1/2^{k+1}，所以该组之和 ≥ 2^k · (1/2^{k+1}) = 1/2。
把第 0 组到第 m−1 组全部加起来，再补上首项 1，得 H_{2^m} ≥ 1 + m/2。
右边随 m 无上界，而 H_N 单调递增，故 H_N → +∞，调和级数发散。这里 k 是组号，2^k 是组内项数，1/2^{k+1} 是该组的最小项。
跟着做一遍
拿一张纸，别查结论。(1) 判断 Σ_{n≥1} n/(2n+1) 是否发散。(2) 判断 Σ_{n≥1} 1/(3n) 能不能用同一招判定。(3) 用分组放缩给出 H_16 的一个下界。
- 先处理 (1)：分子分母同除 n，得 n/(2n+1) = 1/(2 + 1/n)，当 n → ∞ 时它趋于 1/2。
- 极限是 1/2，不是 0，通项判别法立刻判定发散。注意你一个部分和都没算。
- 再看 (2)：1/(3n) → 0，通项判别法在这里什么都说不出来。它只能判发散，不能判收敛。
- 换工具：1/(3n) = (1/3)·(1/n)，这就是调和级数乘上常数 1/3。
- 非零常数倍不改变收敛性，而调和级数发散，所以 Σ 1/(3n) 也发散。
- 做 (3)：把 H_16 拆成 1 + 1/2 + (1/3 + 1/4) + (1/5 到 1/8) + (1/9 到 1/16)。
- 逐组换成组内最小项：(1/3 + 1/4) ≥ 2 × 1/4 = 1/2；四项组 ≥ 4 × 1/8 = 1/2；八项组 ≥ 8 × 1/16 = 1/2。
- 相加得 H_16 ≥ 1 + 1/2 + 1/2 + 1/2 + 1/2 = 3。
结果
(1) 发散，因为通项趋于 1/2 而不是 0。(2) 通项判别法失效，但借调和级数的常数倍仍可判发散。(3) H_16 ≥ 3；同样的分法给出 H_{2^m} ≥ 1 + m/2，下界没有上限，所以 Σ1/n 发散。三件事合起来就是这一片的全部：箭头只朝一个方向走，反方向那条路被 Σ1/n 堵死了。