比值判别法

先回到等比级数。它的特点是每一项都是前一项的固定倍 r，收敛与否只看 |r| 有没有小于 1。
一般的级数没有这么整齐，倍数会随 n 变。但如果这个倍数越走越稳，稳到某个数 L 附近，那么级数的尾巴就越来越像一条等比数列。既然只有尾巴决定收敛，我们就有机会拿等比级数去套它。
关键的一步不是“等于”，而是“压住”。假设倍数趋向 L = 0.8。这不意味着某一项恰好是前一项的 0.8 倍。但只要给自己留一点余量，比如取 r = 0.9，那么从某一项往后，每一项都不超过前一项的 0.9 倍。于是这条尾巴整体被一条公比 0.9 的等比数列压在下面。等比数列的和是有限的，被压住的东西的和也就是有限的。
这就是全部的道理。L < 1 之所以能推出收敛，靠的是 L 和 1 之间还留着空隙，那个空隙就是 r 的容身之处。
反过来，如果 L > 1，倍数最终大于 1，项在一路变大。这时连“通项趋于 0”这个最低要求都破了，级数只能发散。
那 L = 1 呢？此时 L 和 1 之间没有空隙，上面那点余量 r 找不到地方站，整套论证垮掉。垮掉不等于发散。看两个例子：∑1/n 发散，∑1/n² 收敛，而它们的比值极限都等于 1。同一个 L 对应了两种相反的命运，说明 L = 1 这条信息根本不够用。所以 L = 1 的正确读法是“这个方法看不出来，换一个方法”，不是“级数发散”。
还有两处细节值得现在就记住。一是比取的方向：分子是后一项 aₙ₊₁，分母是前一项 aₙ。写反了，L < 1 和 L > 1 的结论就整体对调。二是必须取绝对值。整个论证依赖“这一项的大小不超过前一项的 r 倍”，大小是无符号的量，带着负号谈不上被压住。

设级数 ∑aₙ 的各项从某处起都不为零。这里 aₙ 表示第 n 项，aₙ₊₁ 表示紧接着的下一项。
考察极限 L = lim(n→∞) |aₙ₊₁/aₙ|，其中 |·| 是绝对值，L 允许取 +∞。
结论分三支。若 L < 1，则 ∑|aₙ| 收敛，从而 ∑aₙ 绝对收敛。若 L > 1（含 L = +∞），则 ∑aₙ 发散。若 L = 1，判别法不给结论。
L < 1 的证明骨架如下。先取一个 r 满足 L < r < 1。由极限的定义，存在下标 N，使所有 n ≥ N 都有 |aₙ₊₁/aₙ| < r，也就是 |aₙ₊₁| < r·|aₙ|。
把这条不等式从 N 开始反复用，得到 |a₍N₊k₎| < rᵏ·|a_N|。
右边求和是公比 r 的等比级数，因为 0 < r < 1，它收敛。再用比较判别法，∑|aₙ| 收敛。
L > 1 的一支更短。此时存在 N，使 n ≥ N 时 |aₙ₊₁| > |aₙ|，各项的大小单调不减且不为零，aₙ 不可能趋于 0。由发散判别法，级数发散。
顺带记一句：对任何 p-级数 ∑1/nᵖ，比值极限都恰好是 1，所以整个 p-级数家族都落在这个判别法的盲区里。