幂级数与收敛半径

先看你已经认识的那一个。1 + x + x² + x³ + … 在 |x| < 1 时收敛到 1/(1-x)，在 |x| ≥ 1 时发散。注意它的收敛集长什么样：区间 (-1, 1)，以 0 为中心，向两侧各伸 1。

一般的幂级数只是把这里的系数放开：每一项前面挂一个自己的数 aₙ。系数一变，能撑到多远当然会变，但那个形状不变——仍然是一段以中心对称的区间。这件事值得追问一句为什么。

因为级数收不收敛只跟 |x| 有关，跟 x 落在中心的哪一侧无关。项的大小是 |aₙ| · |x|ⁿ，里面只出现 |x|，也就是「离中心多远」。于是收敛这件事只能是关于距离的性质，不可能左右不对称。

第二个直觉更关键：往中心靠是安全的。假设级数在某个 x₀ 处收敛，再取一个更靠近中心的 x，那么 |x| < |x₀|，每一项都被等比地压小了。把一堆本来就加得动的东西再压小，还是加得动。所以收敛集有一种洋葱结构：从中心出发，一层一层向外都收敛，直到某个距离撑不住，从那以后一路发散。

有洋葱结构，就必然存在一个临界距离。它就是收敛半径 R。R 不是谁额外规定的，它是「最后一层还撑得住的位置」，这就是收敛半径概念的全部来源。

那 R 怎么算？这里出现一件很舒服的事。对幂级数用比值判别法，相邻两项之比是 |aₙ₊₁ xⁿ⁺¹| / |aₙ xⁿ| = |x| · |aₙ₊₁ / aₙ|。x 被干干净净地分离成一个乘性因子，剩下的部分完全由系数决定。判别法要求这个极限小于 1，于是它直接翻译成对 |x| 的一句限制。R 就这样被系数算出来了。

代价也要说清楚：当比值恰好等于 1，比值判别法明确地不表态。而 x = ±R 正好就是这两个点。所以端点上收不收敛，半径本身给不出答案，只能把 x = R 和 x = -R 分别代回原级数，当成两个普通的数项级数重新判一次。跳过这一步是最常见的失分点。两个端点的结论也完全不必相同。

还有两处容易滑掉的地方。R 是半径，不是长度：开区间 (c-R, c+R) 的长度是 2R。以及 R = 0 并不意味着这个级数没意义——它在中心 x = c 处照样收敛，那里只剩常数项，值就是 a₀。它只是作为一个函数没什么可用的地盘。R = ∞ 则是另一头，全体实数都收敛。

最后提醒一句：「级数等于那个函数」这话该怎么读。1/(1-x) 在 x = -3 处有值，等于 1/4。可是把 -3 代进 1 + x + x² + …，得到 1 - 3 + 9 - 27 + …，它彻底发散。函数活得比级数宽。级数只在自己的收敛区间里当那个函数的替身，出了这段区间，它不是「算错了」，而是根本没在算。

设中心 c 是一个实数，系数 a₀, a₁, a₂, … 是一列实数。以 c 为中心的幂级数指的是
∑_{n=0}^∞ aₙ (x - c)ⁿ。
这里 n 是求和下标，aₙ 是第 n 项的系数，x 是变量，(x - c) 是 x 到中心的有向距离。约定 (x - c)⁰ = 1，所以 n = 0 那一项就是常数 a₀。

对每个固定的 x，上式是一个普通的数项级数，可以问它收不收敛。把所有让它收敛的 x 收集起来，称为收敛集。它至少含 x = c 这一个点。

收敛半径 R 定义为
R = sup{ r ≥ 0 : 级数在所有满足 |x - c| < r 的 x 处都收敛 }，
取值范围是 0 ≤ R ≤ ∞。这里 sup 是上确界，即这些 r 的最小上界。由定义可得：|x - c| < R 时级数绝对收敛，|x - c| > R 时级数发散。注意这两句都用严格不等号，|x - c| = R 被有意留空。

开区间 (c - R, c + R) 上处处收敛，它的长度是 2R。真正的收敛区间还要看两个端点 x = c + R 与 x = c - R，它们各自可能收敛也可能发散，须逐个代入判断。

比值判别法给出 R 的常用算法。设 L = lim_{n→∞} |aₙ₊₁ / aₙ| 存在，则对固定的 x，
lim_{n→∞} |aₙ₊₁ (x-c)ⁿ⁺¹| / |aₙ (x-c)ⁿ| = L · |x - c|。
判别法说：此极限小于 1 则绝对收敛，大于 1 则发散。于是 L·|x - c| < 1 给出 |x - c| < 1/L，即 R = 1/L。约定 L = 0 时 R = ∞，L = ∞ 时 R = 0。

最后交代「等于」的准确含义。在 (c - R, c + R) 上定义 f(x) = ∑ aₙ (x - c)ⁿ，这个 f 的定义域就只有这个区间。若另有一个函数 g 定义域更大，且在该区间上 g = f，那么级数只代表 g 在这一段上的限制，不代表 g 的其余部分。