等比级数

先不看公式，看一个动作。把 1/2 + 1/4 + 1/8 + … 想成从门口往墙边走：第一步走掉一半距离，之后每一步都走掉剩余距离的一半。走多少步都碰不到墙，可你能说出墙在哪儿——距离 1。这句话里其实有两件不同的事：一是永远到不了，二是"到不了的那个位置"完全确定。级数的和说的是第二件事，不是第一件。

那为什么这个位置能算得准？因为这列数有一个别的级数很少有的性质：它的尾巴是它自己的缩小版。掐掉第一项 a，剩下的 ar + ar² + ar³ + … 每一项都是原级数对应项的 r 倍，所以整段尾巴就是原级数的 r 倍。于是"整体"和"去掉头之后的部分"之间有了一句关系：S = a + rS。

注意这里到底发生了什么。我们始终没有把无穷多项真加起来，而是造出了 rS 这个原本不在题目里的对象，让它替我们完成加法。rS 不是从题目里推出来的，它是我们看出自相似之后主动摆上桌的一件东西。摆上桌，未知量 S 就被一个一次方程锁死了：S - rS = a，也就是 (1-r)S = a。整片的技术含量几乎全在"想到去乘一个 r"这一步。

这个把戏什么时候会骗人？当 S 根本不是一个数的时候。r = 1 时每项都是 a，部分和是 na，它没有极限；而 S = a + S 这个方程照样写得出来，只是它在给一个不存在的东西列方程，解出来的东西没有意义。r = -1 时部分和在 a 和 0 之间反复跳，也没有极限。所以 |r| = 1 不是公式的边界上，是边界外侧。

|r| < 1 才是"尾巴真的在变小"的情形。r 带负号不影响这件事：r = -1/2 时各项正负交替，但绝对值仍在减半，部分和从两侧交替夹向同一个位置。决定生死的是 |r|，不是 r 的正负。

最后一句提醒：大多数级数的尾巴长得跟自己不像，造不出这样的方程，所以对它们你通常只能问收敛还是发散，问不出和是多少。

取定两个实数 a 和 r，a 称首项，r 称公比。定义部分和 S_n = a + ar + … + ar^(n-1)，下标 n 表示这里恰好有 n 项，末项指数是 n-1。级数 ∑ (n≥1) ar^(n-1) 的和定义为 S_n 在 n → ∞ 时的极限，前提是这个极限存在。

对有限的 n 做前面那个动作，不需要任何收敛假设：rS_n = ar + ar² + … + ar^n。两式相减，从 ar 到 ar^(n-1) 的项成对消去，只剩两头，得 S_n - rS_n = a - ar^n。当 r ≠ 1 时两边除以 1-r：

S_n = a(1 - r^n)/(1 - r)。

这是恒等式，对任何 r ≠ 1 和任何正整数 n 都成立，与收敛无关。收敛只在最后一步进场：n → ∞ 时 r^n → 0，当且仅当 |r| < 1。此时 S_n → a/(1-r)，级数收敛且和为 a/(1-r)。|r| > 1 时 |r^n| → ∞；r = 1 时 S_n = na；r = -1 时 S_n 在 a 与 0 之间摆动。这三种情形一律发散。

关于起点：写成 ∑ (n≥0) ar^n 时第 0 项是 a，与上式逐项相同，和仍是 a/(1-r)。但写成 ∑ (n≥1) ar^n 时首项是 ar，和是 ar/(1-r)。公式里的 a 永远指真正写出来的那个第一项，不是字母 a 本身。