无穷级数与部分和
『无穷多项相加』的严格意思是：部分和数列的极限。没有人真的加了无穷次，加法次数始终是有限的。
9 分钟思维方法: 极限过程
不问到了没有，只问越来越接近什么
这一片为什么存在
你见过 1 + 1/2 + 1/4 + … = 2 这样的等式。但加法是两个数之间的运算，谁也没本事把它做无穷次。那么等号右边那个 2 到底是谁定的？这一片就是把这个等号的合法性补回来：不是加法变强了，是我们换了一个能回答的问题。
内容
加法是二元运算：给它两个数，它吐出一个数。三项相加只是把它用两次。所以“无穷多项相加”这句话，字面上是没有定义的——不存在一个叫做“做无穷次加法”的步骤表。
于是我们不硬碰这件事，而是换一个问题。把项一个一个加进来，把每一步的结果记下来：
S₁ = 1
S₂ = 1 + 1/2 = 1.5
S₃ = 1 + 1/2 + 1/4 = 1.75
S₄ = 1.875
每个 Sₙ 都只做了有限次加法，完全合法。真正无穷的东西不藏在任何一次加法里，它藏在 S₁, S₂, S₃, … 这串数的走向里。
看着 1, 1.5, 1.75, 1.875, … 你会说它奔向 2。它永远不等于 2，差额是 1/2ⁿ⁻¹，但你想让它离 2 多近都办得到。于是我们做一个决定：把 2 叫做这个级数的和。请注意这是一个定义，不是一次计算的结果。等号右边那个数是极限给的，不是加法给的。
换到这个视角，几件事立刻清楚了。第一，正数一直加下去不必爆炸：只要新增的量掉得够快，部分和会被卡在一堵墙下面，然后停在墙上某处。第二，和与通项是两回事：上面 aₙ = 1/2ⁿ⁻¹ 趋于 0，而和是 2。第三，有些级数根本没有和。1 − 1 + 1 − 1 + … 的部分和是 1, 0, 1, 0, …，它不奔向任何数，所以问“它等于多少”是问错了。反过来，通项趋于 0 也不够用：1 + 1/2 + 1/3 + … 的通项趋于 0，部分和却能超过你给的任何数。
设 (aₙ) 是一列实数，n = 1, 2, 3, …，aₙ 叫第 n 项或通项。
定义部分和 Sₙ = a₁ + a₂ + ⋯ + aₙ，也写成 Σ(k=1..n) a_k。这里 n 是有限正整数，k 是求和的哑变量。所以 Sₙ 只用到有限次加法，它是一个普通的实数。
这样得到的 (Sₙ) 本身是一个数列，叫部分和数列。
若存在实数 S 使 lim(n→∞) Sₙ = S，就说级数 Σ(n=1..∞) aₙ 收敛，并把 S 叫做它的和，记作 Σ(n=1..∞) aₙ = S。若这个极限不存在，就说级数发散。
把极限拆开：对任意 ε > 0，都存在正整数 N，使 n > N 时 |Sₙ − S| < ε。ε 是你要求的精度，N 是为这个精度找到的门槛。
两件事要记住。符号 Σ(n=1..∞) aₙ 不表示一次加法动作，它是“(Sₙ) 的极限”的缩写。另外，收敛必有 aₙ = Sₙ − Sₙ₋₁ → 0，但反过来不成立。
跟着做一遍
判断 Σ(n=1..∞) 1/(n(n+1)) 是否收敛，若收敛求出它的和。规则：全程只允许有限次加法，最后只许取一次极限。
- 先算前几个部分和找感觉：S₁ = 1/2，S₂ = 1/2 + 1/6 = 2/3，S₃ = 2/3 + 1/12 = 3/4。猜 Sₙ = n/(n+1)。
- 把通项换一种写法：1/(n(n+1)) = 1/n − 1/(n+1)。右边通分就回到左边，自己验一遍。
- 代回部分和：Sₙ = (1/1 − 1/2) + (1/2 − 1/3) + ⋯ + (1/n − 1/(n+1))。
- 相邻括号里的 −1/2 与 +1/2 抵消，一路消到底，只剩首尾：Sₙ = 1 − 1/(n+1)。与第 1 步的猜测一致。
- 停下来看清楚：到这里一次无穷加法都没做过，n 始终是有限的。
- 现在才对数列 (Sₙ) 取极限。n → ∞ 时 1/(n+1) → 0，所以 Sₙ → 1。
- 按定义，极限存在且等于 1，故级数收敛，其和为 1。
- 顺手验两个陷阱：通项趋于 0 而和是 1，二者不同；调和级数通项也趋于 0 却发散，可见通项趋于 0 保不住收敛。
结果
级数收敛，Σ(n=1..∞) 1/(n(n+1)) = 1。给出 1 的不是加法而是极限：部分和 Sₙ = 1 − 1/(n+1) 永远严格小于 1，而它的极限恰好是 1。